LIVRE YlII. -^ LES COURBES USUELLES. SqI

La polaire réciproque d'un cercle C situé d'une manière quelconque par rapport au cercle auxiliaire 0, est une conique qui a /jourfojrer l'origine 0 et pour directrice la polaire MM' du centre C du cercle proposé par rapport au cercle auxiliaire [Jig* 569).

FIg. 569.

En effet, désignons par p le rayon du cercle proposé C, et par ^ la distance OC de son centre à Torigine. TP étant une tangente quelconque du cercle D et Q son pôle par rapport au cercle 0, on a (349, ik*"), en désignant par QN la distance du point Q à la droite MM',

00 OC^ QN""CP p

Le rapport des distances du point variable Q au point fixe 0 et à la droite fixe MM' est donc constant.

L'excentricité - de la conique obtenue est inférieure, supérieure ou

égale à un, suivant que ^ est inférieur, supérieur ou égal à p. Donc, la conique est une ellipse, une hyperbole ou u/ie parabole, suivant que l'origine 0 est intérieure, extérieure au cercle proposé C ou située sur la circonférence de ce cercle.

Cette proposition, combinée avec le principe du n° 348, permet de déduire de toute propriété du cercle une propriété focale des coniques.

Gomme exemple, transformons la propriété de Fangle inscrit : l'angle MÀB, formé en joignant un point variable d'une circonférence de cercle à deux points fixes de cette circonférence , est constant et égal à la moitié de l'angle au centre ACB correspondant. Au cercle, répondra une conique ayant pour foyer Torigine 0 et pour directrice la polaire 7 du pointe par rapport au cercle auxiliaire 0; aux points A, B, M, répondront deux tangentes' fixes a et ^, et une tangente variable f/ de la conique. Les points d'intersection de fi et 2^ de f^ et 6, de 7 et a, de 7 et 6, seront respectivement les pôles des droites MA, MB, GA, CB, et par suite, en vertu du principe du n° 348, on aura ce théorème : L'angle sous lequel on voit

du foyer 0 d*une conique la portion d*une tangente mobile f* comprise entre deux tangentes fixes a et ^^ est constant et égal à la moitié de V angle sous lequel on voit du foyer la portion de la directrice 7 comprise entre les deux tangentes fixes oc et p. Voici d'autres exemples :

Deux tangentes d'un cercle sont également inclinées sur la corde des contacts^

Le lieu du sommet d'un angle de grandeur constante circonscrit à un eercle est un cercle concentrique, et la corde des contacts enveloppe un cercle aussi concentrique.

Si une corde d*im cercle est vue sous un angle constant d'un point fixe A de la circonférence, cette êorde enveloppe un cercle concen^ trique.

Les projections d'un point A d'une circonférence de cercle sur les côtés d*un triangle inscrit quel' conque sont en ligne droite.

La droite qui Joint le foyer d*une conique à l'intersection de deux tangentes, divise en deux parties égales l'angle sous lequel on Tfoit du foyer la corde des contacts.

Si une corde d'une section conique est vue du foyer sous un angle constant, cette cortle enveloppe une section conique ayant même foyer et même directrice que la proposée; le point de concours des tangentes aux extrémités de cette corde, décrit une section conique ayant aussi même foyer et même directrice que la proposée.

Le lieu du sommet d'un angle de grandeur constante circonscrit à la parabole, est une conique ayant le même foyer et la même directrice.

Si, par les sommets d'un triangle circonscrit à une parabole, on élève des perpendiculaires sur les droites qui joignent ces sommets au foyer F ^ les trois perpendiculaires concourent en un même point l.

Dans les deux derniers exemples, on a pris pour origine le point A; et comme ce point est sur la circonférence, la transformée de cette circonférence est une parabole. Observons, en outre, qu'en vertu du dernier théorème obtenu, si Ton décrit un cercle sur FI comme diamètre, ce cercle passera par les sommets du triangle circonscrit; delà cette proposition : Le lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites fixes est le cercle circonscrit au triangle formé par ces trois droites.

1149. La polaire réciproque d*une conique C par rapport à un cercle auxiliaire 0 est une conique C.

fin effet, la conique C peut être considérée (1096) comme Tenveloppe

LITRB TlII. — LES COCRBBS CSITBLLB8. 393.

des droites mm* qui joignent les points homologues m et m' de deux divisions homographiques tracées sur deux tangentes fixes L et L'. Or, soient \ \\ fi, les pôles des tangentes fixes L et L' et de la tangente mobile w/n'; les d roi les V* ^V; décriront deux faisceaux homographiques. Car les droites issues de \ répondant anharmoniquement aux points de la division L, et les droites issues de X' aux points de la division L' (1080), quatre droites quelconques issues de > auront même rapport anharmonique que les quatre droites homologues issues de X', attendu que quatre points quelconques de la division L ont même rapport anharmonlque que les quatre points homologues de L'. Donc le lieu des points fi est une conique qui passe par les points \ et V (i097, a**).

A chaque propriété des coniques, en répondra dès lors une autre par la méthode des polaires réciproques. Voici des exemples :

Le lieu des sommets des angles iiroiis circonscrits à une ellipse ou à une hyperbole est un cercle.

Le lieu des projections d'un foyer sur les tangentes d'une ellipse ou d'une hyperbole est un cercle.

V enveloppe des cordes d'une conique qui sont vues sous un angle droit d'un ptnntfixe du plan de la conique, est une autre conique dont ce point fixe est le foyer»

Si par chatfue point d^un cercle on élève une perpendiculaire sur la droite qui joint ce point à un point fixe, l'enveloppe fie ces perpendica* laires est une conique dont ce point fixe est le foyer.

1120. Reportons-nous au théorème du n*" 351. Si, sans rien changer au raisonnement , on avait pris pour origine de la transformation un point quelconque au lieu du centre du cercle circonscrit au quadrilatère, on aurait obtenu pour théorème corrélatif :

Dans tout quadrilatère circonscrit à une conique, le produit des distances de deux sommets opposés à une tangente quelconque est dans un rapport constant avec le produit des distances des deux autres sommets h la même tangente, .

Cette dernière proposition, transformée à son tour par la méthode des polaires réciproques, donne alors :

Dans tout quadrilatère inscrit à une conique, le procluit des distances d'un point quelconque de la conique à deux côtés opposés est dans un rapport constant avec le produit des distances du même point aux deux autres côtés. Ce théorème est attribué à Pappus. On doit remarquer la manière dont nous Tavons obtenu et qui consiste dans une double application de la méthode des polaires réciproques.

Les explications données au n" 351 permettront au lecteur de voir lui-

394* GtOMfiTRIS DANS l'BSPACB.

même comment ces théorèmes peuvent se généraliser et s'étendre à des polygones. Nous appellerons ici, au contraire, Tattentionsur un cas particulier : Lorsque deux côtés opposés du quadrilatère inscrit deviennent tangents à la conique, les deux autres se confondent avec la corde de. contact , et le théorème de Pappus devient le suivant : 'Le produit des distances d'un point quelconque d*une conique aux deux côtés d*un angle circonscrit est dans un rapport constant avec le carré de la dis^ tance du même point à la corde de contact. Le théorème corrélatif s'énonce : Le prodidt des distances de deux points fixes d'une conique à une tangente variable est dans un rapport constant avec le carré de ta distance de l'intersection des tangentes aux deux points fixes y à la même tangente variable; il résulte immédiatement de la propriété des quadrilatères circonscrits, lorsque Ton suppose que deux côtés adjacents du quadrilatère viennent se confondre avec les deux autres.

ii21. On peut généraliser toute celte théorie en substituant au cercle auxiliaire, par rapport auquel on prend les pôles, une conique auxiliaire : La courbe polaire réciproque dUine conique quelconque par rapport à une conique auxiliaire est encore une conique (la démonstration du n"" H19 s*applique sans modification), et la méthode ainsi généralisée se prête avec la même facilité à la transformation des propriétés descriptives; mais il n*en est plus de même pour les propriétés métriques, et pour transformer ces propriétés il convient de prendre un cercle pour courbe auxili.tire.

On dit qu'une courbe est algébrique ou transcendante suivant que son équation en coordonnées rectiiignes x et / est algébrique ou transcendante. On appelle ordre d'une courbe algébrique le degré en x et ^ de son équation préalablement rendue rationnelle et entière par rapport à ces variables. Pour que cette définition ne soit pas contradictoire, il fiaut montrer que le degré de Téquation est indépendant de la position de la courbe par rapport aux axes de coordonnées. C'est ce que nous allons établir.

Ck)nsidérons une droite située d'une manière quelconque par rapport aux axes coordonnés ox et ojr. Soient M, M', M^...y divers points de cette droite, P, P', P*,..., les extrémités de leurs abscisses, et Q, Q', Q',..., les extrémités de leurs ordonnées comptées sur or. Les deux divisions PP'P'..., QQ'Q*..., sont homographiques et semblables, car chacune d'elles est évidemment semblable (1074) à la division MM'M". . . ; il y a donc entre x = oV ei f= oQ une relation homographique privée de termes en jty\ c*est-à-dire que les coordonnées d*un point quelconque M de la droite sont liées constamment par une équation du premier d'ogre.

L'équation d'une ligne droite étant du premier degré, quelle que soit la situation de cette droite par rapport aux axes coordonnés, il faat nécessairement que, si x et / sont les coordonnées d'an point par rap-

LITRE TIII. — LES COURBES USUELLES. 3g5 .

port à certains axes yox^ et j:' et j' les coordonnées du même point par rapport à d'autres axes yox\ x et j soient des fonctions du premier degré de ar" et /'. Par suite, la substitution de ces valeurs de x et j dans une équation algébrique en x et^ n'altérera pas le degré de celte équation. En d'autres termes, Tordre de la courbe représentée par cette équation sera le même, quels que soient les axes auxquels on la rapporte.

Une courbe algébrique d'ordre n est coupée en n points ( réels ou imaginaires) par une droite quelconque, £n efifet, en prenant celte droite pour axe des x, Téquation de la courbe sera toujours du degré n d*après ce qui précède; et si Ton fait/-^ 6, l'équation se réduira à une équation du degré n en or, qui donnera les abscisses des points communs à la courbe et à la droite ; or, on sait par l'Algèbre qu'une équation algébrique rationnelle et entière du degré /i a /i racines réelles ou imaginaires. Ainsi, l'ordre d'une courbe algébrique exprime le nombre des points suivant lesquels cette courbe est rencontrée par une droite quelconque:

Les coniques sont donc des courbes du second ordre, ce qui s'accorde avec les équations trouvées aux n" 1108, H 40, MU. Inversement, toute courbe du second ordre est une conique; car l'équation générale du second degré à deux variables x et /, ne renfermant que cinq coefficients arbitraires, on voit que cinq points déterminent une courbe du second ordre ; mais par ces cinq points on peut faire passer une conique et une seule (1098); et comme cette conique est du second ordre, elle ne diffère pas de la courbe proposée.

Deux courbes polaires réciproques sont telles, qvie chacune d'elles est coupée par une droite quelconque en autant de points (réels ou imaginaires) qu'on peut mener de tangentes (réelles ou imaginaires) à l'autre par un point donné quelconque. On nomme classe d'une courbe algébrique le nombre des tangentes réelles ou imaginaires qu'on peut mener à cette courbe d'un point quelconque. D'après cela, on peut énoncer la propriété précédente de cette manière plus concise : Quand deux courbes sont polaires réciproques , l'ordre de l'une est égale à la classe de l'autre.

Les coniques sont des courbes de la seconde classe, et, inversement, toute courbe de la seconde classe est une conique.

1122. Deux coniques quelconques ont quatre points communs [réels ou imaginaires).

En effet, en éliminant y^ entre les équations du second degré qui représentent les deux coniques, on obtient une équation où y ne figure qu'au premier degré et que nous désignerons par (/) ; puis, en substituant cette valeur de jr dans l'une des deux équations primitives, on trouve une équa-

lion du quatrième degré en x, que nous désignerons par (x), et dont les racines sont les abscisses des points communs aux deux courbes. Si Téquation (x) a ses quatre racines réelles, l'équation (y) donne poar chacune de ces valeurs de x une valeur réelle de/; et, par suite, les deux coniques ont quatre points communs réels. — Si l'équation (x) a deux racines réelles et deux racines imaginaires (conjuguées), l'équation (j) donne pour j deux valeurs réelles et deux valeurs imaginaires (conjuguées) ; et, par suite, les deux coniques ont deux points communs réels et deux points communs imaginaires (conjugués). — Enfin, si l'équation {x) a ses quatre racines imaginaires (conjuguées deux à deux), l'équation (y) donne pour j quatre valeurs imaginaires (conjuguées deux à deux); et, par suite, les deux coniques ont quatre points communs imaginaires (conjugués deux à deux).

Deux coniques quelconques ont toujours un ou trois systèmes de ileujc cordes comtnunes réelles.

Il y a trois cas à distinguer :

I* Les deux coniques ont quatre points comdnuns réels a, b^ c, d{fig. 670);

Fig. 570.

les trois couples ab et cd^ ac et bd^ ad et bc^ de cordes communes sont alors réels. De plus, en désignant par p le point d'intersection de ab et de cd^ par q celui de ac et de bd et par r celui de ad et de bc^ on voit que chacun des sommets du triangle pqr est le pôle du côté opposé par rapport à toutes les coniques passant par les quatre points a, b, c, d.

%^ Les deux coniques ont deux points communs réels a ei ù ei deux points communs imaginaires conjugués c et d, La corde commune ab est

alors réelle ; il est aisé de voir que cd Test aussi : car, soient x* et x' ^^ coordonnées du point c et x% /", les coordonnées du point d, l'équation

jc—x' y— r' 00" -a:' y' -y

représente la droite crf, puisqu'elle est du premier degré et qu'elle est satisfaite pour x = x' et j = 7', ainsi que pour x= x" et/ =7'; or, si l'on remplacé x' et x" par deux imaginaires conjuguées m-{- n yf^x , m — n^—\, et y' et x" par ^eux autres imaginaires conjuguées /if'H-«V— ï> m' — /iV— ij on trouve

n'x — /ïj= mn' — nm\

équation où les imaginaires ont disparu. Les autres cordes communes ac et hd^ ad et hc sont imaginaires; car si, par exemple, ac était réelle, le point r, intersection des droites réelles ac et cd^ serait réel , ce qui est contre l'hypothèse. Quant au triangle pqr^ il n'a qu'un sommet réel p ; car si q, par exemple, était réel, la droite ac qui joindrait les deux points réels a ^\,q serait réelle , ce qui est impossible , comme nous venons de le voir. Il faut remarquer toutefois que ^ et r sont des points imaginaires conjugués et, par suite, que la droite qr est réelle.

3"" Les deux coniques ont quatre points communs imaginaires conjugués deux à deux a et' 6, c et d. Alors les droites ah et cd sont réelles, puisque chacune d'elles unit deux points imaginaires conjugués; on voit d'ailleurs, en raisonnant comme dans l'alinéa qui précède, que les autres cordes communes sont imaginaires. Le triangle pqr a ses trois sommets réels : cela est évident pour le point /?, mais il importe de démontrer nettement la réalité des points q et r. Considérons, par exemple, le point çr, intersection des deux droites ac et bd^ et soient x* et j' les coordonnées de iz, x' et/" celles de c, j?, et /, celles de ^, x^ et/, celles de d. Les droites ac et hd ont respectivement pour équations

x — x'x—r' ^, x — x^ /— r. . et — ~ Tj

or, si l'on résout ces équations du premier degré par rapport à x et à ^aûn d'avoir les coordonnées du point commun 7, on constate sans difficulté que les expressions de ces coordonnées ne renferment plus d'imaginaires, si Ton remplace respectivement x' et ar,, /' et/,, x" et x,, /" et^'„ par des imaginaires conjuguées.

Dans ce numéro et dans le précédent , nous avons fait de légers emprunts à l'analyse. Gela nous a permis d'éviter de longs détours et de fixer d'une manière nette le sens des propositions.

En transformant par la méthode des polaires réciproques les deux théorèmes qui précèdent, on voit que :

Deux coniques quelconques ont quatre tangentes communes [réelles ou imaginaires) (Jîg, Syi).

Deux coniques quelconques ont toujours un ou trois systèmes de deux ombilics réels (on donne le nom di ombilic à tout point d'intersection de deux tangentes communes].

Si les quatre côtés Â, B, C, D, du quadrilatère circonscrit sont réels, les trois couples (A, B) et (C, D), (A, C) et (B, D), (A, D) et(C, D) d'ombilics sont réels, ainsi que les diagonales P, R, du quadrilatère et la droite Q, qui joint les points de concours des côtés opposés.

Fig. 571.

(A. cl

Si le quadrilatère circonscrit a deux côtés réels A et C, et deux imaginaires C et D, les ombilics (A, B) et (C, D) sont seuls réels, et des trois droites P, Q, R, la droite P est seule réelle; le point d'intersection de Q et de R est aussi réel.

En6n, si les quatre côtés sont imaginaires conjugués A et B, C et D, les ombilics (A, B), (C, D], sont seuls réels, et les trois droites P, Q, R, sont réelles.

1123. On nomme pôle double tout point du plan de deux coniques, qui a la même polaire par rapport à ces deux courbes. Nous avons vu (1122) que les points p, 7, r, communs aux trois couples de cordes communes des deux coniques considérées, étaient des pôles doubles (Jig, 570.)

Réciproquement, tout pôle double est l'intersection de deux cordes communes. En efTet, soient p^ un pôle double; /7, 6, r, r/, les quatre points réels ou imaginaires communs aux deux coniques, et a, a', les points où la droite p^a rencontre les deux coniques. Le point /;, devant avoir même conjugué harmonique par rapport aux deux segments a a, aa', il

LlYRE YllI. — LES COURBES USUELLES. 899.

faut que a et a' coïncident, c'est-à-dire se confondent avec l'un des points c, b, d^ avec c par exemple. Ainsi, le point/?, est sur la corde commune ac^ et Ton peut voir de même qu'il est sur brl : il est donc à Tinterscction de deux cordes communes.

Les trois seuls pôles doubles sont donc les sommets du triangle y?, 7, r, dont l'un est toujours réel. Chacun de ces pôles est d'ailleurs le centre du faisceau harmonique formé par les deux côtés du triangle et les deux cordes communes qui passent parce point.

On TiomïSiQ polaire double toute droite qui a le même pôle par rapport aux deux coniques. Toute polaire double est la polaire d'un pôle double^ et réciproquement ; il n'y a donc que trois polaires doubles, dont une toujours réelle : ce sont les côtés du triangle pqr.

Les diagonales P, Q, R, du quadrilatère formé par les quatre tangentes communes aux deux coniques (Jîg, 671 ), c'est-à-dire les droites qui por. tent les trois couples d'ombilics, sont évidemment des polaires doubles : elles ne diffèrent donc pas des côtés du triangle pqr. En outre, il résulte immédiatement de la construction de la polaire d'un point par rapport à deux droites, que les deux ombilics et les deux pôles doubles qui sont sur le même côté du triangle pqr forment un système harmonie |ue.

Enfin, si deux points pris sur une corde commune sont conju^iés par rapport à l'une des coniques^ ils le sont aussi évidemment par rapport à Vautre, La propriété corrélative des ombilics consiste en ce que : si deux droites issues d'un ombilic sont conjuguées par rapport à l'une des coniques, elles le sont aussi par rapport à Vautre,

Constnictions relatives aux coniques»

1124. Étant donnés deux diamètres conjugués d'une ellipse ou d'une hyperbole en grandeur et en position , construire les axes de la courbe,

1» Ellipse. — Soient (fig, 57a) 0A'= a' et 0B'= ^' les deux demidiamètres conjugués donnés; désignons par 0 leur angle BOA, et par a et b les longueurs inconnues des deux axes. Les relations (1108)

„aH-^>=^'»H/,'«, ab = a'b'ûii^, donnent

(a-^ by = a'^ -i- b'^-^ia'b' sm^, («— ô) ' = «'*-+- A'* - a û'6'sinô.

Or, si sur la perpendiculaire B'I, abaissée du point B' sur OA', on prend de part et d'autre de B', B'H = B'K = «', et si l'on joint OH et OK, on a

OB'K = - — 0, cosOB'K = sinÔ, OFH = -H-e, cosOB'H= — sinô,

4oO« GÉOMÉTRIE DANS L*BSPACB.

et par suite , en vertu de la formule fondamentale de la Trigonométrie recti ligne,

c'est-à-dire

On = a^b, 0K = «~^.

On en déduit pour les longueurs des axes

« = i(0H-4-0K), ^ = i(OH-OK).

Il reste à trouver la direction 0^ du grand axe. Or, B'N est la normale en B' à Tellipse, puisque la tangente en B' serait (1107) parallèle à OÀ'.

On a donc (Hi?) B'N = — et, par suite,

NH BHh-BN "^ fl gH-^ OH NK~B'K-B'N~" , ,b~~a^b'' OK' a

donc le grand axe Ox est la bissectrice de Tangle HOK.

Fig. 57a.

Il* Hyperbole. ~ En construisant le parallélogramme sur les deux diamètres conjugués donnés et menant les diagonales , on aura les asymptotes ; les axes seront les bissectrices des angles des asymptotes. Pour avoir la longueur dun axe, il suffira (liiO, i"*) de mener par l'un des sommets du parallélogramme une parallèle à la direction de cet axe, et de prendre une moyenne proportionnelle entre les distances de ce sommet aux points où cette parallèle coupe les asymptotes.

Remarquons que lorsqu'on connaît les asymptotes Ou et Ov d'une hyperbole et un point m, on obtient au moyen de la règle autant de points de la courbe que Ton veut [fg. 56i) ; en menant par m une transversale quelconque qui coupe les asymptotes en g et g\ et prenant g'm' = gm^ on aura un nouveau point m' de Tbyperbole.

LITRE YIII. — LKS COURBES USUELLES. 4^1.

1125. Construire une conique connaissant :

i" Cinq points «, b, c, rf, tf. — « abcd forme un quadrilatère inscrit 9 dans la conique cherchée. Par le point e , on mènera une droite quel- » conque e/, et Ton cherchera le point / conjugué du point ^dans l'invo- » lution déterminée sur cette droite par les points où elle rencontre les 1 côtés opposés du quadrilatère. Le point / appartiendra à la conique.

» Si l*on veut trouver la tangento bt en b, on regardera acht comme 3 un quadrilatère inscrit, dont deux sommets sont infiniment voisins en » b, et la droite ed comme une transversale de ce quadrilatère. Cette » transversale coupe les côtés oppo:?és ba^ bc, en a, 7, la courbe en e et r/, » et les côtés opposés ac^ bt, en S et x. Ces six points formant une invo- » lution, on déterminera le point jc, et par suite la tangente bt. »

2° Cinq tangentes, A, B, C, D, E. — « Quatre des tangentes données 1 forment un quadrilatère circonscrit. Qu'on prenne sur la cinquième un » point quelconque a et qu'on le joigne aux quatre sommets du quadri- 9 latère; le sixième rayon, conjugué à la cinquième tangente dans Tin- » volution que ces quatre droites déterminent, est une tangente issue du » point a,

» Supposons qu'on veuille trouver le point de contact de la tangente 9 B. On considère le quadrilatère formé par les tangentes Â, C, B, dont » deux côtés se confondent en un seul suivant B, et dont (A, C), (A, B), » (B, C) et / sont les quatre sommets. Le sommet t est inconnu , mais B les six rayons qui aboutissent au point de concours I de D et E, savoir : j» D, £, I (A, B], I (B, C), I (A, C), I/, sont en involution, et cinq sont » connus. Il sera donc facile de déterminer le sixième et, par 'suite, le » point cherché /.

» Dans le cas de la parabole , la cinquième tangente est donnée impli- 9 citement; c'est la droite de l'infini. Les quatre qui sont données for- » ment un quadrilatère. Par les sommets de ce quadrilatère, on mènera » quatre parallèles dans une direction arbitraire; on les coupera par une » transversale quelconque , sur laquelle on cherchera le point central de » l'involution qu'elles y déterminent, et la parallèle aux autres droites. 9 menée par ce point sera une cinquième tangente. »

3" Quatre points et une tangente. — « Soient abcd le quadrilatère » donné et e le point de contact inconnu de la tangente. Soient a , a', » et p, fi', les points où cette tangente rencontre successivement les côtés » opposés du quadrilatère. Ces points déterminent une involution dont e 9 est un point double. Il sera donc facile de le trouver. On voit que la » question a deux solutions.

B Dans le cas de la parabole, la tangente est à l'infini. Soient S le point B de concours des côtés opposés ad et bc du quadrilatère donné. Qu'on B mène Se', Sr/', parallèles respectivement aux deux autres côtés opposés ; II. 26

4o2. GfiOMfiTRlB SAKS l'bSPàCE.

» on a quatre rayons Sr', Sd\ Se, Sd^ issus du point S, qui, conjugués 9 deux à deux , déterminent une involulion. Chacun des deux rayons » doubles de celte involution est parallèle à Taxe d^une parabole qui » satisfait à la question. »

4* Quatre tangentes et un point, — a On trouve une cinquième tan- » gente en cherchant les rayons doubles de IMnvolution qoi est déler- » minée par les quatre rayons, conjugués deux à deux, qu'on obtient en » joignant le point donné aux sommets du quadrilatère formé par les » quatre tangentes données. Chacun des deux rayons doubles est une » tangente à la conique ; on a donc deux solutions distinctes.

» Pour la parabole, on donne un point et trois tangentes; la quatrième » est à Tinfini. La solution est la même; deux des rayons de Tinvolution » Eont parallèles respectivement à deux des tangentes donoées. »

5** Trois points et deux tangentes. — o Soient a^ by c, les trois points » donnés, T et T' les deux tangentes qui se coupent en 0 et qui louchent » respectivement la courbe aux deux points d ti e qu'il s'agit de déter- 9 miner. On peut regarder la corde de contact de comme représentant jo un quadrilatère inscrit dont deux sommets sont en r/ et les deux autres )» en e. La corde bc, considérée comme une transversale du quadrilatère 9 et de la courbe , fournit une relation d*involution , en vertu du théo- » rème de Desargues, entre les six points où elle coupe les côtés opposés » du quadrilatère et la courbe. Ces points se réduisent ici à cinq, savoir : » /, /', sur les tangentes ^0, ^0, respectivement; s sur les deux autres » côtés opposés qui se confondent en un seul de\ et en6n h, c, sur la » courbe. Le point s est donc un point double de l'involution déterminée » par les segments bc^ tt'. — Si l'on prend ab comme transversale au lieu » de bc, on trouvera de même un point «p appartenant à la corde de contact 9 de, qui sera ainsi déterminée par les deux points c et 7. Mais comme » chacune des deux relations d'involution fournit deux points doubles c » et s\ 7 et f', on obtiendra quatre positions distinctes de la corde de, » savoir : ty, ey', s'«p, s'y', c'est-à-dire quatre solutions du problème » proposé.

» Dans le cas de la parabole où Ton ne donne qu'une tangente et trois » points, on obtient de même quatre solutions. La tangente T' est à » rinfini, ainsi que le point /'; donc, le point / qui lui est conjugué dans » Tinvolution est le point central de cette involution, dont on connaît en » outre le segment bc et dont il s'agit de trouver les points doubles. » Chacune des quatre cordes de contact sy est un diamètre d^une para- » bole satisfaisant aux conditions proposées. »

6* Trois tangentes et deux points. — « Nous allons déterminer deux » nouvelles tangentes à la courbe aux points donnés a et 6. Soient AB, » BC, CD, celles qui sont données. Désignons par 0 le point de contact

LIYRB TllI. — LES C0UHBB8 USUELLES. 4^^'

» inconnu des deux tangentes cherchées; si l'on regarde Tangle bOa » comme un quadrilatère circonscrit OaOb dont les côtés adjacents se » sont confondus deux à deux en un seul 0^ ou 06, on verra que la » droite BO est un rayon double de l'involulion formée par les deux » couples de rayons conjugués Ba et hb, BA et BC. Pareillement, CO est » un rayon double de l'involution C/ï, C6, CB, CD. Donc, le point 0, » intersection des rayons 60 et CO, est déterminé. Mais comme chacune » des involutions comporte deux tels rayons, on obtient quatre positions » distinctes du point 0, et par conséquent, le problème admet, comme » le précédent, quatre solutions.

» S'il s'agit d'une parabole, Tune dos trois tangentes données est à i> l'infini, BC par exemple. La construction reste la mémo en principe; 9 mais ici les deux faisceaux de rayons en involution se composent de 9 droites parallèles, puisque leurs rayons respectifs B et C sont à Tinfini. » Coupons-les p*ar une transversale quelconque. On aura sur cette droite, » relativement au premier faisceau, deux points a, p, interseciions des » rayons conjugués «B, bB; un point w intersection du rayon AB dont » le conjugué CB est à l'infini, ce qui est cause que &> est le point central A de rinvolulion; enfin un poini double x intersection du rayon BX, et » qu'il s'agit de déterminer. Relativement au second faisceau , on aura » de môme deux points conjugués d'une involution a', 6'; un point cen- » tral w', et l'on déterminera un point double y- Les droites xO, ^0, 9 parallèles respectivement aux tangentes données AB, DC, se cx)uperont » au sommet 0 de l'angle circonscrit à l'arc ab de la parabole , et l'on » aura encore quatre solutions, parce que l'on obtiendra deux positions 9 du point x et deux positions du point/ (*). )»

Nous avons expliqué dans les paragraphes précédents comment on construit les points doubles de deux divisions homographiques tracées sur une même droite, ainsi que les points doubles et le point central d'une involution. Pour ne laisser aucune lacune, il convient de montrer comment, étant donnés trois couples («, «'), (6, b')^ (r, c'), de points homologues de deux divisions homographiques, on peut construire l'homologuo m' d'un point quelconque m de la première division. Or, si l'on porte la première division sur une droite quelconque a'L^ , issue du point a' de la seconde, de manièire que a soit en a', et b, c, m, en 6, , ^, , //',, les deux divisions a'b,c^ , a'b'c\ seront en perspective, puisqu'elles auront un point homologue commun a'; donc, si 0 est le point de concours de b^b\ et de r,c', la droite 0/» déterminera sur la base de la division a'b'c' rhomologue W de m.

(*) Nous avons eitrait ces solutions d'un excellent article de M. E. de Jo!f- QmÉRis, inséré au tome XVI des Nouvelles Annales de Mathématiques ^ i ^^ série.

GÉOMÉTRIE DANS l'bSPAGB.

Coniques homologiques»

di26. Soient (fig. 5yZ) une figure plane quelconque, un point fixe S et une droite fixe XX' situés dans son plan; si sur la droite Sm, qui joint le point S à un point quelconque m de celte figure et qui coupe XX' en fA, on prend un point /// tel, que le rapport anharmonique

,^ M 'wS . w/'S

IStimm') ou — : — r- ^ ^ ' min m lu

ait une valeur constante \ le lieu du point m' est une seconde figure qui est dite homologique de la première. L est le cerare (Vhomolngic, XX' Vaxe fVhomologic^ et \ le coefficient tVhomoio^ie.

Fig. 5:3.

Supposons que le point /;* décrive une droite ae\ joignons le point e où cette droite rencontre XX' avec le point a' de la seconde figure qui est l'homologue d'un point a choisi à volonté sur la droite ae\ la transversale %my. coupera la droite en! du faisceau (^S, en^ fa, <?«') en un point m' tel que (312)

(SfAW///) = (Saffû') = \\

ce point m* sera donc Thomologue de m dans la seconde figure. Donc : Quand deux figures sont homolngiqucsy à luie droite de lUme répond dans l* autre une droite y et ces deux droites se rencontrent sur i'axe d'homolngie.

Inversement , si deux figures F et F sont telles^ qu'à un point quelconque de l^une réponde un point de l'autre^ et qu'à une droite de Vune réponde une droite de Vautre, de telle sorte que deux fioints homologues quelconques soient toujours en ligne droite avec un point fixe S, et que deux droites hnnmlogues quelconques se coupent toujours sur une droite fixe XX', CCS dfiux figures sont honmlogiqucs ; car si n et «', m et w', sont deux couples quelconques de peints homologues, on a, dans le fais-