LIVRE TlII. — LES COURBES USUELLES

ceatt (eS, ea^ ^X^ ea') dont le sommet est le point de XX' où concourent les droites homologues am^ a'm\

(Su.////«') =r [^xaa') = const.

Enfin, puisque deux droites homologues coupent Taxe d'homologie au même point, à la droite de l'infini dans Tune des figures doit corres- ))ondre dans Tautre une droite U parallèle à Taxe d'homologie. Si SK et S7 sont les dislances du centre S à la droite U et à Taxe XX^ on a la relation

RS ooS . KS .

: — \ ou sr- = A ,

qui détermine la position de la droite U.

d127. Quatre points en ligne droite «, ft, c, rf, de la première figure y et les quatre points correspondants a'. b\ c', rf', de la seconde ont le même rapport anharmonifjue ; car les droites aa\ bh\ cr\ dd\ passant par S, les deux divisions abcd^ a'h*c'd\ sont en perspective.

Un faisceau de quatre droites OA, OB, OC, OD, de la première figure et le faisceau des quatre droites correspondantes O'A', O'B', O'C, O'D', de la seconde ont le même rapport fmharmonique ; en effet, OA et O'A' coupent Taxe d'homologie XX' au même point a; de même, 08 et O'B' coupent cet axe au même point p; OC et O'C, au même point 7; OD et O'D', au même point ^. Le rapport anharmonique de Tun et de Tautre faisceau est donc égal à celui des quatre points «^ ^, 7, ^.

4128. Au lieu de donner la constante X, on peut donner un couple (/7, a') de points homologues. La construction de la figure homologique d'une figure donnée s'effectue alors très-simplement à Taide de la règle seule. Veut-on le point m' homologue d'un point quelconque m de la première figure, il suffira de prendre l'intersection de Sm avec la droite a> qui unit le point a' au point ^ où am coupe XX' [fig, b-jZ ).

Le théorème de Ménélaiis (390) appliqué au triangle mem' coupé par la transversale Saa* donne

Sw' am a* (* __ S m ne a' m' ~

a'e Si l'on suppose a' à l'infini , le point a est sur UU', le rapport -; — ,

devient égal à i , et le rapport -— ;- devient égal au rapport ^ des distances de la droite U au point m et à Taxe XX' d'homologie; on a donc

(I) Sm'=K7.— .

' mp

Cette formule est très-utile dans la théorie de Vhomologie, elle permet

4o6. GtOMfiTRIB DANS l'bSPACB.

de consiruire la figure homoiogique d'une figure donnée au moyen du centre d'homologie et de ia droite UU' qui, dans la figure donhée, répond à la droite de l'infini de la figure inconnue.

H 29. La figure homoiogique d'une ronique C est une conique C.

En eiïet, P et Q étant deux points fixes pris arbitrairement sur la conique donnée C, et m un point variable de cette conique, les droites Vm^ Q/77, engendrent deux faisceaux homographiques (1096). Or si P\ Q\ m\ sont les homologuas de P, Q, /«, le faisceau engendré par P'/m' tournant autour du point fixe P' sera homographique du faisceau engendré par P/7I (iiS7); de même, le faisceau décrit par QVm' sera homographique du faisceau décrit par Q//?. Donc, les faisceaux engendrés par V'm' et Q'w' sont homographiques, et (1096) le lieu du point m' est une conique. — A un point p et à sa polaire L relatifs à la première conique C, répondent dans la seconde conique un point p' et sa polaire L', Car aux quatre points harmoniques p^ a^ q, 6, situés sur une transversale issue du point /?, et qui coupe la conique C en a et ^ et la polaire L en q, répondent quatre points p\ a\ q\ h\ qui sont aussi harmoniques ( id27 ). On voit par là que h deux points ou à deux droites conjuguées relative^ ment à la conique C , refendent deux joints ou deux droites conjuguées relativement à la conique C. — Vaxe d'/wmologie XX' est une corde commune aux deux coniques C et C. En effet, les points communs à la conique C et à Taxe XX' sont les points doubles des deux divisions homographiques tracées sur XX' par les faisceaux générateurs V m et Qm de cette conique. De même, les points communs à la conique C et à XX' sont les points doubles des deux divisions tracées sur XX' par les faisceaux Vm' et 0';/i' ; mais les rayons homologues des faisceaux P et P' se coupent sur Taxe XX', aussi bien que les rayons homologues des faisceaux Q et Q'. Donc les points doubles sont les mêmes pour les deux divisions. — Enfin on voit, soit par un raisonnement corrélatif du précédent, eoil en appli(|uant à la propriété précédente la transformation par polaires réciproques, que le centre d'/iomologie S est un ombilic des deux coniques.

Réciproquement, deux coniques quelconques C et G' sont deux figures homolngiques dans lesquelles Vaxe d'homologie est une corde commune et le centre d'homologie un ombilic correspondant h cette corde. Considérons le triangle pqr^ dont chaque sommet est le pôle du côté opposé par rapport aux deux coniques (fig. 570); par chaque sommet passent deux cordes communes, et sur chaque côté sont situés deux ombilics; nous appelons ombilics corresf fondant à une corde comntune les deux ombilics placés sur le côté du triangle pqr opposé au sommet qui est situé sur la corde commune considérée. Cela étant, soient XX' une corde commune aux deux coniques proposées, qui les coupe en e et/, et S Tun des deux ombilics correspondants ; a étant un point quelconque de la

LIYRB Tlll. — LES COUHBBS DSUBLLB9. 4^7.

conique C, la droite Sa rencontre la conique C en deux points : désignons par a' celui de ces deux points qui, lorsque la sécante Sa tourne autour de S, vient se réunir avec a au point e. Si en prenant S pour centre dhomologie, XX' pour axe et (a, a') pour un couple de points homologues, on construit la figure homologique de G, on trouvera une conique G, qui, ayant en commun avec la conique G' les points a\ e, /, et les deux tangentes issues de S, ne différera pas de la conique G'. Donc C et G' sont homologiques.

Il faut cependant, d'après la démonstration même , que les deux coniques soient placéees de telle façon, que toute transversale issue de Tombilic S rencontre les deux courbes en des points qui soient à la fois réels ou à la fois imaginaires pour les deux coniques.

De plus, comme il peut y avoir six cordes communes, et qu*à chacune d'elles répondent deux ombilics, on voit que deux coniques peuvent être homologiques de douze manières dijférentes,

1130. La figure homologique d'un cercle, lorsqiCon prend le centre du cercle pour centre d'homologie, est une conique qui a ce centre pour foyer; car si, dans la formule (i) du n» 1128, Sni* est constant, on a

— = const. :

mp

par suite, le rapport des distances d'un point quelconque m de la fgure cherchée au point fixe S et à la droite fixe U est constant.

Par suite, une conique étant donnée, on voit qu'il faut placer le centre d'homologie S à l'un des foyers , pour que la figure homologique soit un cercle de centre S.

• G'est cette propriété que M. Ghasles prend pour définition des foyers dans son Traité des Sections coniques.

Voici encore une propriété caractéristique de ces mêmes points :

PlusieiJH^ cou))les de droites conjuguées issues d'un même point forment un faisceau involutif dont les rayons doubles sont les tangentes menées à la conique par ce point (1104 ). Si ce point est un foyer, tous les couples de droites conjuguées sont rectangulaires, et par suite (i 104, 1 112 ) les rayons doubles du faisceau, c'est-à-dire les tangentes (imaginaires) menées du foyer à la conique passent par les points circulaires à l'infini.

Gela étante considérons les deux foyers réels d'une conique et les deux tangentes issues de chacun d'eux; ces quatre droites déterminent un quadrilatère imaginaire circonscrit dont les deux points de concours des côtés opposés sont, d'après ce qui précède, les deux points circulaires à l'infini. La.seconde diagonale de ce quadrilatère est le petit axe (ou l'axe non transverse) de la conique, puisque cet axe est la polaire du point où la première diagonale (grand axe ou axe transverse) rencontre la droite de l'infini qui contient les points de concours des sommets op-

4o8. GÉOMÉTRIE DANS l'bSPACE.

posés. Les deux autres sommets opposés du quadrilatère sont les deux foyers imaginaires situés sur le petit axe (ou l'axe non transverse). On voit d'après cela que les foyers d'iine coniqive sont les sommets du quadrilatère ima^naire circonscrity dont les côtés opposés concourent df:ujc h deux aux points circulaires à Vinfini, et que totHes les coniques confocales doivent être considérées comme inscrites dans un même quadrilatère imaginaire.

1131. La théorie de l'homologie est due à Poncelet, et c'est dans le Traité des Propriétés prfijtctives qu'il faut en lire les nombreuses applications. Nous nous bornerons à deux exemples :

1^ Considérons une conique C et un cercle C ayant un foyer F de la conique pour centre. Ces deux courbes sont liomologiques, et F est le centre d'homologie. Si un angle de grandeur constante tourne autour de F comme sommet, la corde qu'il intercepte dans le cercle enveloppe ud cercle concentrique au premier; donc, la corde interceptée dans la conique enveloppe une seconde conique G". D'ailleurs, deux cercles concentriques ont un double contact sur la droite de PinBni; donc^ les coniques C et C ont un double contact (imaginaire) sur la directrice correspondante au foyer F, attendu que cette directrice, étant la polaire du foyer, correspond à la droite de TinOni dans le cercle, laquelle est la polaire du centre. Ainsi , lorsque un angle de grandeur constante tourne autour du foyer dhine conique comme sommet^ la corde, qull intercepte dans la conique enveloppe une nouvelle conique doublement tangente à la proposée sur la directrice relative au foyer consiiiéré,

2? Soient une conique G et un cercle G' tangent en S à cette conique. Ces deux courbes sont homologiques, et S est le centre d'homologie. Si un angle de grandeur constante tourne autour de S comme sommet, la corde interceptée dans le cercle enveloppe un cercle concentrique. Donc, la corde interceptée dans la conique enveloppe une seconde conique G" doublement tangente à la première, suivant la parallèle à Taxe d'homologie qui répond à l'infini du cercle. Ainsi, lorsqu'un angle de grandeur constante tourne autour d'un point d'une conique comme sommet , la corde interceptée dans la conique enveloppe une autre coniqiœ qui a un double con^ tact avec la première.

En particulier, si l'angle est droit, la corde interceptée dans le cercle passe par le centre de ce cercle, c'est-à-dire par un point fixe situé sur la normale commune aux courbes G et G' au point S. Donc, quand un angle droit pivote autour d'un point S d'une conique comme sommet, la corde interceptée dans la conique /fasse par un point fixe situé sur la normale en S à la conique, Ge théorème, dû à Frégier, dopne un moyen simple de construire avec Téquerre la normale en un point donné dune conique.

Ajoutons, en terminant, que Poncelet est arrivé à la notion des figures