LIVRE YIII. — LES CODHBBS USUELLES. ^Og

homotogiques en faisant sur un plan la perspective de deux figures homothétiques situées dans un autre plan (voir les Exercices 601 à 610).

Coniques homothétitjues»

li3â. Deux figures homothétiques (352) ne sont autre chose que deux figures homologiques (4126) dont l'axe d'homologie est à Tinfiiv; car la relation

du n'ouïs, se réduit à

lorsque ^^ = 1, c'est-à-dire lorsque l'axe XX' s'éloigne indéfiniment.

Il suit de là et des propriétés démontrées au n° 1129, que la figure Iwmothétique d'une conique est une conique y et que deux coniques homothétiques ont une corde commune à ^infini. Réciproquement, lorsque la droite de l* infini est une corde commune à deux coniques C etQ»\ ces courbes sont homotliétiques , En effet, si deux points de la droite de l'infini sont conjugués par rapport à Tune des coniques, ils sont conjugués par rapport à Tautre; par suite, deux diamètres conjugués quelconques de la courbe C sont parallèles à deux diamètres conjugués de la courbe C. Cela posé, soient Àfi et A'fi' deux diamètres parallèles des coniques C et C ; M étant un point quelconque de C, AM et BM sont parallèles à deux diamètres conjugués de C, et par suite les parallèles A'M' et B'M' à AM et à BM se coupent en un point M' de la conique C Or (3^8), les points M et M' ainsi déterminés décrivent deux figures homothétiques

dont le rapport de similitude est -rr^,'

Deux coniques homothétiques et concentriques ont un double contact sur la droite de V infini. En effet, soient e et y les points communs aux deux coniques et à la droite de Tinfini. Les tangentes en c et ^ à la première conique doivent passer par le pôle dé c<p, c'est-à-dire par le centre 0 de cette conique; de même, les tangentes en £ et ^ à la deuxième conique doivent passer par 0; donc les deux coniques ont les mêmes tangentes en 8 et 9>. Réciproquement, deux coniques qui ont un double contact sur la droite de V infini sont homothétiques et concentriques ; car, d'abord elles sont homothétiques puisque la droite de l'infini est une corde commune, et, d'autre part, le centre de chacune d'elles doit être le pôle de la droite de l'infini, qui est le même pour les deux coniques puisque c'est le point de concours des tangentes communes en e et 7.

1133. Deux figures semblables ne diffèrent en définitive que par Téchelle à laquelle elles sont construites, de sorte qu'un simple changement d'é-

4lO. GÉOMfiTHIB BÀKS l'eSPàCB.

chelle les rendrait égales. Donc, pour trouver les conditions de similitude de deux courbes de même espèce, il suffira de distinguer, d'après la déBnition des courbes de cette espèce, les données distinctes et indépendantes relatives à la forme, des données relatives à la position. Par exemple, si la connaissance d'une seule grandeur suffit pour déterminer la forme d'une courbe d'une certaine espèce, toutes les courbes de cette espèce seront semblables, car un simple changement d'échelle permettrait de les faire coïncider. Ainsi tous les cercles sont semblables, toiues les paraboles sont semblables. Si la forme de la courbe dépend de plusieurs données distinctes et indépendantes, il faudra que les données angulaires homologues soient égales et les données linéaires homologues proportionnelles; car le changement d'échelle ne permettant de rendre égaux que deux éléments linéaires homologues, Tégalité des autres éléments linéaires homologues devra résulter de celle des deux premiers. Cest ainsi que la similitude de deux ellipses ou de deux hyperboles consiste dans la proportionnalité de leurs axes.

Quand cleux paraboles ont leurs axes parallèles, elles sont homothétiques; elles touchent la droite do TinGni au même point : c'est le point situé sur leurs axes parallèles.

Méthode fondée sur la projection conique.

il 34. Nous avons déjà défini (588) la projection coniqite ou centrale; et nous savons que la projection d^une ligne droite est une ligne tlroitey que la projection de la tangente à une courbe est la tangente de la pro • jection de cette courbe (862), enfin que toute conique peut être projetée suivant un cercle ( \ 096, 1 097 ) .

On peut toujours projeter une figure plane de telle sorte que Pun de ses points A passe à V infini. 11 suffit que le plan de projection soit parallèle à la pn jetante SA, c'est-à-dire à la droite qui joint le point A au sommet du cône que, dans tout ce qui suit, nous désignerons par S; alors toutes les droites qui, dans la première figure, concouraient au point X, deviennent parallèles dans la figure projetée.

On peut toujours projeter une figure plane de telle sorte qu!une droite L prise à volonté dans cette figure passe à ^infini. Il suffit que le plan de projection soit parallèle au plan déterminé par la droite L et le sommet S du cône.

D'après cela, un quadrilatère peut toujours être projeté suivant un parallélogramme dont les angles ont telle grandeur qu^on veut. En effet, d'abord pour que la projection A'BX'D' d'un quadrilatère donné ABCD (fig. 239) soit un parallélogramme, il suffit que la troisième diagonale EF passe à l'infini. De plus, comme le plan ABA'B' contient alors. la parallèle SE au plan de projection, A'B' sera parallèle à SE ; de même B'C sera parallèle à SF, et, par suite, les angles ESF, À'B'C, seront égaux.

Maïs Vangle ESF est arbitraire, puisque Ton peut prendre le sommet S du cône à volonté; donc, on- pourra donner à l'angle A'B'C du parallélogramme telle grandeur qu'on voudra.

il 35. On nomme propriétés pmjecthes les propriétés qui se conservent en projection.

Toutes les propriétés descriptives sont évidemment projectives; mais il n*en est pas de même des relations métriques.

Soient A, B, C, D, . . . les divers points d'une figure plane quelconque, A', B', C, D',. • . los points correspondants de sa projection sur un autre pl^n. Désignons para, ô, c, rf,. . . les projetantes SA, SB, SC, SD,. . . et par /?, ^,. . . les distances du sommet S du cône aux droites AB, CD,. . . En égalant deux expressions bien connues de Taire du triangle SAB, on a

AB./? = flr.^.sinASB, d'où AB = ~sinASB,

et Ton aurait de même

CD=:~sinCSD,....

Gela posé, considérons une équation, sans dénominateurs, dont les deux membres n'aient chacun qu'un seul terme ; supposons que chaque terme soit, à un coefficient numérique près, le produit de facteurs exprimant de simples distances AB, CD,^.. entre les divers points de la figura

plane ABCD Cette relation sera projective si les mêmes lettres se

retrouvent dans les facteurs linéaires qui composent les deux membres, et si, à chaque distance appartenant à l'un des membres, il en corres» pond une autre dans le second qtd soit sur la même droite qtie la pre^ mière. En effet, quand on substituera aux facteurs linéaires AB, CD,. .. les valeurs ci-dessus, toutes les projetantes /?, 6, . . . disparaîtront d'ellesmêmes en vertu de la première hypothèse, et il en sera de même des perpendiculaires /?, 7,. . . en vertu de la seconde condition. Il ne restera donc qu'une égaillé entre les sinus des angles ASB, CSD,..., ce qui prouve que la propriété métrique considérée ne dépend que de ces angles, et nullement de la position du plan de la figure ABCD. ... La même relation existera donc entre les facteurs linéaires correspondants A'B', C'D',.<. delafigureÂ'B'C'D'....

Cette proposition contient évidemment comme cas particulier celle du n** 312; car la relation

^:g-^ = X, ouCA.DB = >CB.DA

remplit les conditions prescrites dans l'alinéa précédent.

1136. A l'aide de ce petit nombre de principes , nous pouvons déjà faire comprendre en quoi consiste la méthode par projection.

4V2* GÊOHÉTBIE DANS l'bSPACB.

« Il résulte de la nature même des propriétés projectives que, voulant » établir une semblable propriété sur une 6gure donnée, U sufGra de dé- » montrer qu'elle a lieu pour l'une quelconque de ses projecUoDS. Or, » parmi toutes les projections possibles de cette 6gure, il peut en exister » qui soient réduites à dos circonstances plus simples et sur lesquelles la

» recherche qu'on se propose devienne de la première facilité Une

» figure étant donnée, tout se réduira, comme on voit, à rechercher celle 9 de ses projections qui présentera des circonstances plus élémentaires » et plus propres par leur simplicité à faire découvrir les relations parti- 9 culières que Ton a en vue (*). »

Voici doux exemples simples :

i"" Soient ABCD un quadrilatère, E et F les points de concours des côtés opposés, et G l'intersection des deux diagonales. Projetons-le suivant un parallélogramme abcd ( ii3i ); dans un parallélogramme, les diagonales se coupant mutuellement en parties égales, g projection de G sera le milieu de ac ; en d'autres termes, la diagonale or est divisée harmonique* ment (3S6) par la diagonale bd et par la droite de l'inGni ^/projection de EF. Donc, puisque la propriété harmonique est projective , dans le quadrilatère primitif la diagonale AC est divisée harmoniquement par la diagonale BD et la droite EF. C'est le théorème du n*" 334.

a® Un triangle ABC étant tracé dans le plan d'une conique qui ren^ contre SCS côtés consécutifs AB, BC, CA, en trois couples de fxn'nts (r, r*), (a, a'), (by b*), les segments que ces points forment sur les côtés ont entre eux la relation

Ab.Ab' Ca.Ca' Bc.Bc' Cb.Cb'ha.ha'' AcAc' ''

En eiïet, cette relation est projective, car lorsqu^on a chassé le dénominateur on voit qu'elle satisfait aux conditions prescrites dans le n"" 1135. D'ailleurs elle est évidente sur le cercle, à cause de la propriété des sécantes; donc elle convient à une section conique quelconque, puisqu'une telle courbe peut toujours être projetée suivant un cercle.

Ce théorème, dû à Carnot ( Géométrie de position, p. 487), est la généralisation de celui de Ménélaiis (390). Il a de nombreuses conséquences. Par exemple, si le sommet B du triangle ABC est à FinBni, la relation précédente devient

Ab.Ab' ^Cb.Cb' Ac.Ac' Ca,Ca'

Or, si par un point quelconque D de la droite Caa' on mène une pa-

(*) Po:iCELCT, Traité des Propriétés projectives des Jlgures, a* édition, t. I, p. 5o.

LIYBB Tllf. — LB9 C0UBBB9 CSUBLLBS. ^l3^

rallèle à AG qui rencontre la conique en e et e', on aura de même De.De' Cb.Cfj'

d'où, en rapprochant les deux équations précédentes,

A^>.A^^ ^Jj^ Ac.Ac' ~ ba.Da'*

Donc : Si dans le plan d'une conique on mène par un point quelconque A deux droites parallèles à deux axes fixes ^ le rapport des produits des segments (réels ou imaginaires) que la courbe détermine sur ces droites à partir de leur point commun A, est constant. Ce théorème est dû à Newton (Énumération des courbes du tmisième ordre),

ii37. Pour montrer toute la fécondité de cette méthode relativement à la recherche des propri^^és des sections coniques, il faut établir quelques nouveaux principes.

I* On peux projeter une conique C de telle sorte qu'une droite L rL' son plan passe à l'infini y et qu'un point f de ce même plan se projette au ftjQrer de la nouvelle conique C — Le point F doit, d'après cela, être à rintérieur de la conique C. Par suite, l'involution déterminée sur la droite L par tous les couples de droites conjuguées issues du point F a ses points doubles imaginaires (ii04), de sorte qu'il existe de part et d'autre de L deux points P et P' de chacun desquels on voit sous un angle droit les divers segments de l'involution. Plaçons le sommet S du cône sur la circonférence décrite, dans un plan perpendiculaire à celui de la conique C, sur PP' comme diamètre, et prenons pour plan de projection un plan parallèle à celui du sommet S et de la droite L. De cette façon, la droite L passera à Tinfini dans la projection, et chaque couple de droites conjuguées issues du point / deviendra en projection un couple de droites rectangulaires et conjuguées par rapport à la conique C. La projection du point /sera donc (lli2] un foyer de cette nouvelle courbe C Ajoutons que cette conique C sera une hyperbole, une ellipse ou une parabole, suivant que la droite L coupera la conique primitive C en deux points réels, imaginaires ou coïncidents.

Le pôle o de la droite L, par rapport à la conique C, deviendra en projection le centre de ta conique C (1106). On peut donc projeter une conique C €le manière que deux points f et o de son plan deviennent, en projection, l'un le foyer, Vautre le centre de la nouvelle conique C.

En particulier, si /coïncide avec le pôle o de la droite L par rapport à la conique C, le même point sera en projection le centre el le foyer de la nouvelle conique C, qui dès lors sera un cercle. On peut ilonc projeter une conique suivant un cercle de telle sorte qu'un point de son plan se prr jette au centre du cercle ou qu'une droite de son pUm passe à l'infini.

4l4* GfiOMfiTEIE DANS l'bSPAGB.

a° On peut projeter deux coniques situées dans un même plan^ suivant deux cercles. ^-W faut évidemment que les deux coniques proposées aient au plus deux points communs réels; il existe alors une corde commune réelle qui rencontre les deux coniques en deux points imaginaires (1122, 2*"). En projetant de telle sorte que Tune des coniques devienne un cercle et que cette corde commune passe à TinGni, l'autre conique donnera aussi un cercle, car les deux courbes ayant en projection une corde commune à l'infini seront homothéliques (113:2), et la figure homothélique d'un cercle est un cercle. .

Si les deux coniques proposées ont un double contact imaginaire, on peut les projeter suivant deux cercles concentriques. Car, en projetant Tune des coniques suivant un cercle de telle sorte que la corde de contact passe à Tinfmi , l'autre conique donnera un cercle de même centre, puisque les deux courbes en projection ayant un double contact sur la droile de Tinfini devront être homothéliques et concentriques.

Les deux droites qui joignent le foyer d'une conique aux points circulaires à l'infini sont tangentes à la conique (1130), et la corde de contact est la polaire du foyer, c'est-à-dire la directrice. Donc, deux coniques qui ont même foyer et même directrice peuvent être projetées suivant deux cercles concentriques ^ attendu qu'elles ont un double contact imaginaire sur la directrice commune.

3** On peut projeter une conique C de telle sorte que deux points { intérieurs) de son plan,f et f\ deviennent en pnjection les deux foyers de la nouvelle conique C. — En effet, en désignant par a et a* les points où la droile jy coupe la conique C, et par / et k* les points qui divisent à la fois harmoniquement les segments aa' et ff\ il suffit de projeter de telle sorte que / et /• deviennent l'un le foyer, l'autre le centre de îa nouvelle conique C. Alors la projection de /' sera évidemment l'autre foyer.

On peut projeter deux coniques situées dans un même plan suivant deux coniques confocales, — Ces deux coniques doivent avoir un seul couple d'ombilics réels^ et ces deux ombilics doivent être intérieurs à Tune et à l'autre courbe. Cela élant, il suffit de projeter de manière que ces deux ombilics deviennent en projection les deux foyers de Tune des courbes; ils seront par cela même les deux foyers do l'autre (1116).

Voici des applications :

Dans tout quadrilatère inscrit h une conique y ^intersection des deux diagonales est le pôle de la droite qui joint les points de concours des côtés opposés; les diagonales de ce quadrilatère et celles du quadrilatère dont les côtés sont les tangentes à la conique mc/iées par les sommets du quadrilatère inscrit, se coupent au même point et forment un faisceau har^ monique. Car, en projetant la conique suivant un cercle de telle sorte que la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit passe à l'infini, le théorème devient évident.

LITRB VIII. — LBS GOUlBBS USUELLES. ^\5,

Quand deux coniques ont un double contact y touie corde de l'une qui est tangente à l 'autre est divisée liarmoniquement jHir le point de contact et par le point ou elle rencontre la corde de contact des deux coniques. Car, en projetant les deux coniques suivant deux cercles concentriques, CD transforme cette proposition dans la suivante, qui est évidente : Toute corde d'un cercle tangente à un cercle concentrique a son milieu nu point ile contact.

Si deux côtés d*un triangle inscrit à une conique passent c/uicun par un point fixe^ le troisième côté enveloppe une conique qui a un double contact avec la première sur la droite qui joint les deux points fixes. Car, en projetant la conique suivant un cercle de telle sorte que les deux points fixes passent à Tinfini, on retombe sur ce théorème : Si deux côtés d'un triangle inscrit dans un cercle sont parallèles à ileux droites données, le troisième côté enveloppe un cercle concentrique, ce qui est évident puisque Tangle au sommet du triangle est constant.

On voit immédiatement que le lieu des centres des cercles qui passent par un point fixe et qui touchent une droite fixe est une parabole dont le point fice est le foyer. En transformant par projection ce théorème, et remarquant que le point fixe ou foyer et les deux points circulaires à Tinfini forment un triangle circonscrit à la parabole, on obliient la proposition suivante : Étant donnés un triangle et une droite, si Von conçoit toutes les coniques circonscrites à ce triangle et tangentes à cette droite, le lieu des points de concours des tangentes à deux des sommets du triangle est une conique inscrite dans ce triangle.

Nous avons démontré (1H8) que le cercle circonscrit à tout triangle formé par trois tangentes à la parabole passe par le foyer: en remarquant que le foyer et les deux points circulaires à Tinfini forment un second triangle circonscrit à la parabole, et transformant par projection, on arrive à ce théorème : Si deux triangles sont circonscrits à une co' nique, leurs six sommets sont situés sur une conique,

II importe de remarquer que les démonstrations fournies par cette méthode laissent souvent quelque chose à désirer. Par exemple, le théorème sur le triangle inscrit dans une conique^ qui fait l'objet de la troisième application , n*est rigoureusement démontré que pour le cas oii les deux points fixes autour desquels pivotent les deux premiers côlés sont extérieurs à la conique ; car, pour projeter une conique suivant un cercle de manière qu'une droite de son plan passe à l'infini, il faut que celte droite soit extérieure à la conique (i'').

1138. Parlons enfin de la transformation des propriétés angulaires.

On sait (1083) que si Von a dans un même plan îles angles (A, A'), (B, B'),. . . tous de même grandeur et formés dans le même sens de rotation h partir de leurs origines respectives A, B,. . . , mais placés (railleurs d'une manière quelconque^ leurs côtés tracent sur la droite de l'in»

4l6. GÉOMÉniB DANS l'bSPAGB.

fini deux divisions honiographiques dont les points doubles, toujours les mêmes y quelle que soit la grandeur commune de ces angles, sont les points circulaires imaginaires à V infini.

En projection, les angles cessent d*ètre égaux, mais leurs côtés tracent deux divisions homographiques sur la droite qui répond à Tinfini de la première figure; et, si dans la première figure se Irouve un cercle, la conique correspondante de la deuxième figure détermine par son intersection avec cette droite les points doubles des deux divisions.

Ce principe permet de transformer un assez grand nombre de propriétés angulaires.

On voit, en particulier, qu a un angle droit ile la figure primitive répond en projection uti angle dont les côtés divisent harmoniquement Vangle formé par les droites qui joignent la projection du sommet aux projections des deux points circulaires à l'infini.

Voici quelques applications :

Deux coniques confocales se cou- I Si deux coniques sont inscrites pent orthogonale ment ( d d 1 6 ) . dans le même quadrilatère , les deux

tangentes à l'un fies points communs divisent harmoniquement une ; diagfmale quelconque de ce quadri^ latère.

Le lieu des angles droits cîrcon' ] Le lieu des angles circonscrits à scrits à une ellipse ou à une hyper- une conique, dont les côtés flivisent bole est un cercle (967, 997). harmoniquement une ligne droite

donnée ab^ est une conique passant t par les points aet b.

Le lieu des angles droits circon- 1 Le lieu des angles circonscrits h scrits h une parabole est Ui direc- une conique, dont les côtés divisent

harmoniquement une tangente ab h cette conique, est la droite qui joint les points de contact des tangentes issues de a et de b.

Si autour d'un point fixe on fait tourner deux ni) on s formant deux

trice{\^l\

Si autour du centre d'un cercle comme sommet, on fait tourner un

angle de grandeur constante , la faisceaux homographiques iiont les corde qu'il intercepte dans le cercle rayons doubles soient les tangentes enveloppe un cercle concentrique, ' à une conique, la corde interceptée

I dans la conique enveloppe une autre

\ conique qui a avec la première un

double contact sur la polaire du

point fixe.

Quand un angle droit pivote au- Si un faisceau harmonique a pour

tour d'un point d'une conique comme centre un point d'une conique, et

LITRE VIII. — LES COUEBES OSDBLLBS. 4 '7*

sommet f la corde interceptée passe par un point fixe (1131, a**).

que deux rayons conjugués restent fixes y la corde qui joint les extrémités des deux autres rayons passe par un point fixe.

Ces exemples suffisent pour montrer la fécondité de cette méthode, dont Poncelet a tiré un si grand parti dans son Traité des Propriétés projectiles des figures^ mais que nous recommandons bien plus comme moyen de recherche que comme procédé de démonstration.

Pôle et plan polaire dans les surfaces du second ordre,

1i39. On nomme surfaces du second ordre les surfaces dont toute section plane est une conique réelle ou imaginaire; d'où il suit qu'une droite quelconque a, avec une telle surface, deux points communs réels ou imaginaires, à moins qu'elle n'appartienne tout entière à la surface.

Nous nous proposons ici de démontrer les propriétés fondamentales des surfaces du second ordre ; nous ne ferons qu'énoncer les corollaires et, en général, toutes les propriétés dont la démonstration ne saurait offrir de difficulté au lecteur déjà familiarisé, par l'étude des coniques, avec des raisonnements analogues. Nous supprimerons les Ggures, mais, pour faciliter la lecture, nous représenterons toujours les points par des lettres minuscules a, 6, c, . . . , les lignes par des lettres majuscules, A, B, G,. . • , et les plans et les surfaces par des lettres grecques a, P,. . •> ^j* • • •

1140. Si, par un point quelconque p de l'espace, on mène une droite quelconque L, et si ron prend sur cette droite le conjugué harmonique p' de p par rapport aux deux points m et m' communs à la droite L et à une surface du second ordre 2, le lieu des points p\ quand L se déplace autour de /?, est un plan fixe a.

Observons d'abord que, si Ton mène deux plans quelconques par p et si Ton prend les polaires de p par rapport aux deux coniques que ces plan» déterminent sur la surfar^ £, ces deux polaires ont un point commun : C'est le conjugué harmonique de p qui est situé sur l'intersection des deux plans. Cela posé, concevons par le point p deux plans fixes a et p arbitraires et un plan quelconque 7 contenant la droite L ; soient A, B, C, les polaires de p par rapport aux coniques que les plans a, p, 7, déterminent sur la surface Z. Le point p* est situé ^ur C; d'ailleurs, d'après l'observation ci-dessus , la droite C rencontre les droites fixes A et B qui se rencontrent elles-mêmes. Donc, le point p* est constamment situé dans le plan fixe o des deux droites A et B.

Le plan o est dit le plan polaire du point /?, et le point p est dit le pôie du plan o, par rapport à la surface I.

1141. Le plan polaire {l'un point de la surface 1 est le plan tangent en II. «7

4«8. GtOMftTftlB DANS l'eSPACE.

ce point, puisque ce plan tangent contient toutes les languîtes en p aux sections faites par ce point, c'est-à-dire toutes ies polaires de p par rapport à ces sections; inversement, tout plan tangent a pour pôle son point de contact,

• La courbe de contact de tout cône circonscrit h la surface I est la conique suivant laquelle le plan polaire a du sommet p coupe la surface; si cette conique est réelle, le point /? est dit extérieur à la surface; si elle est imaginaire, le cône cesse d'exister, et le point p est dit inté^ Heur, — Par un point donné y», on ne peut donc mener que deux plans tangents à une surface du second ordre 2 , ce qui montre que les sur^ faces du second ardre sont de la deuxième classe,

il 42, Le plan polaire de tout point d'un plan passe par le pôle de ce plan, et, réciproquement, le pôle de tout plan passant par un point est sur le plan polaire de ce point. Par suite , les plans polaires de tous les /xtints d'une droite L passent par une droite L', et, inversement, les pôles de tous les plans passant par une drr)ite L' sont sur une droite L. Deux droites L et L', telles que Tune contient les pôles des't)lans passant par Tautre, sont dîtes polaires réciproques. A toute droite L répond une droite polaire réciproque L', et une seule ; on l'obtient en joignant les pôles de deux plans menés à volonté par L, et en particulier en joignant les points de contact des plans tangents conduits par L.

Le pôle d^une droite L par rapport à la section faite dans la surface par un plan a contenant la droite L, coïncide avec le pôle par rapport à la surface du plan que déterminent la droite L et le pôle a du plan a; il appartient donc à la polaire réciproque L' de L. Donc si l'on coupe une surface du second ordre 2 par une série de plans contenant une même miroite L, les pôles de cette droite L par rapport aux diverses sections sont sur une droite V qui contient encore les pôles de tous les plans sécants par rapport à la surface et, en particulier , les points de contact des ficux plans tangents conduits par la droite primitive L.

Lorsque quatre points sont en ligne droite, leurs plans polaires^orment un faisceau dont le rapport anharmonique est égal à celui des quatre points.

Lorsque quatre droites concourantes sont situées dans un même plan, leurs polaires réciproques forment un faisceau plan qui a même rapport anharmonique que le faisceau primitif,

1143. Deux ptûnts sont dits conjugués par rapport à une surface da second ordre, lorsque le plan polaire de l'un passe par l'autre. Plusieurs cokples de points conjugués sur une même droite forment une inpolution, dont les points doubles sont les points communs à la droite et à la surface.

Deux plans sont dits conjugués par rapport à une surface du second ordre, lorsque le pôle de Tun est situé sur lautre. Plusieurs couples de plans conjugués passant par une même droite forment un faisceau rie

LITM TITI. — LES C0UEBB8 USUELLES. 4^9 •

plans en involution (c'est-à-dire un faisceau que toute transversale coupe suivant une suite de points en involution) ; les plans doubles sont les deux plans tangents menés par la droite ; il suit de là que par tme droite quelconque on peut toujours mener deux plans conjugués rectangidaircs ,

Deux droites sont dites conjuguées par rapport à une surface du second ordre lorsqu'elles sont dans un même plan et qu'elles sont conjuguées par rapport à la conique que ce plan détermine dans la surface.

1444. Une droite et un plan sont dits conjugués par rapport à une surface du second ordre lorsque la droite passe par le pôle du plan. Quand un plan et une droite, sont conjugués, le plan contient évidemment la polaire réciproque de la droite.

Tout point p de l'espace est le sommet d'une infinité d'angles triedres dont chaque arête est conjuguée à la face opposée; car il suffit pour avoir un tel trièdrede joindre le point p à trois points a^ b^ c, choisis dans le plan polaires de py de façon que chaque sommet du triangle abc soit le pôle du côté opposé par rapport à la conique que le plan cr détermine sur la surface. Un tel trièdre prend le nom de trièdre polaire.

Parmi tous les trièdres polaires de même sommet p, il en est un qui est tiirectangle. Joignons en effet le point ^ à un point quelconque m du plan «r, et menons par/> un plan perpendiculaire à mp; la trace M de ce plan sur le plan or sera la polaire de m par rapport au cercle imaginaire qui serait situé dans Je plan a , aurait pour centre la projection de p sur ce plan et pour carré de son rayon —^^ 9 étant la dislance du point y? au plan tr. Oo si l'on considère ce cercle imaginaire G et la conique P que le plan o détermine sur la surface^ les trois points gy g\ ^^ de ce plan, qui ont chacun même, polaire par rapport aux deux coniques G et P (1122), sont réels, et le trièdre dont les arêtes unissent le point p aux points gy ^y ^y est le trièdre demandé.

Sur l'un des côtés du triangle gg'g^'y il y a deux ombilics o, o,, et comme ces ombilics divisent harmoniquement ce côté et que le trièdre est trirectangle, les deux droites po et po^ sont également inclinées sur chacune des deux arêtes du trièdre situées dans le plan/'oo,. Si par Tun o de ces ombilics on mène dans le plan vt deux droites ohy o/<,, qui soient conjuguées par rapport à la conique P, elles le seront aussi par rapport au cercle imaginaire G, et, par suite, les plans /Wi, poh^y seront rectangulaires. Donc, par le sommet p de tout trièdre polaire trirectangle, passent deux droites réelles po et po^ ayant pour bissectrices deux arêtes du trièdre et jouissant de cette propriété y que tout couple de plans conjugués passant par Vune d'elles (poou po^) est rectangulaire.

Par Tun g des sommets du triangle g g' g" passent, dans le plan or des deux coniques P et G, deux sécantes communes réelles S et S, ; comme ces deux sécantes divisent harmoniquement l'angle g du triangle gg'g" et que le trièdre est trirectangle, les deux plans déterminés par/; et par les deux

4^0. GfiOHfiTRIB DAK8 l'BSPACB.

droites S et S^ auront pour plans bissecteurs les deux faces du Irièdre qui passent par rareté./'^. Si sur Tuoe S des deux sécantes on prend deux points n et /i, qui soient conjugués par rapport à la conique P, ils le seront aussi par rapport au cercle imaginaire C, et par suite Tangle npn^ sera droit ; les droites /^/j et /?/?, étant celles suivant lesquelles leplan^/fi7, coupe les plans polaires de n et de n^ sont conjuguées par rapport à la surface. Donc par l'une des arêtes de tout trièdre polaire trt rectangle passent deux pians réels ayant pour plans bissècteiu*s les deux faces adjacentes du trièdre et jouissant l'un et l'autre de cette propriété que tout couple de droites conjuguées menées dans ce plan par le sommet du trièdre est rectangulaire.

Plans diamétraux, diamètres, centre; sections parallèles; sections circulaires,

1145. Dans toute surface du second ordre, le Heu des milieux des^onle» parallèles à une direction donnée est un plan; c*est le plan polaire des points à rinfini communs à toutes ces parallèles. On donne à ce plan le nom de plan diamétral conjugué à la direction des cordes.

Des considérations analogues à celles qui nous ont amené (1083) à considérer tous les points à Tinfini d'un plan comme situés sur une même droite^ conduisent à regarder tous les points à Tinfini de l'espace comme si lues dans un même plan qu'on XkomxùQ plan de r^fini. Le pôle du plan de l'infini est évidemment commun à tous les plans diamétraux; on le nomme centre de la surface.

Toute corde passant parle centre a son milieu en ce point et prend le nom de diamètre.

Un diamètre et un plan diamétral sont dits conjugués lorsque le diamètre passe par le pôle du plan diamétral (1144). A chaque diamètre répond un seul plan diamétral conjugué, et réciproquement.

1146. Le centre est le sommet d'une infinité d'angles trièdres polaires (1144), c'est-à-dire de trièdres dont chaque arête est le diamètre conjugué du plan diamétral déterminé par les deux autres. Les trois arêtes forment un sy.^itème de trois diamètres conjugués deux à deux, et les trois faces un système de trois plans diamétraux conjugués deux à deux.-- L'an de ces trièdres est trirectangle (1144); ses trois faces sont donc des plans de symétrie de la surface : on les nomme plans principaux et on appelle sections principales les sections qu'ils déterminent dans la surface. Les trois arêtes sont des axes de symétrie ; on les nomme axes de la surface.

1 1 47. Si l'on coupe une surface du second ordre 1 par une série de plans parallèles a,,a,...., c'est-à-dire par une série deplans ayant une droite commune L à l'infini, les centres des sections seront les pôles de cette droite L par rapport à ces sections: ils seront donc (1142) tous situés sur une même droite \J qui contient aussi les pôles des plans ocp «,, . . • par rap-

LITEB VllI. — LB8 G0CEBB8 USUBLLBS. 4^1.

port à la surface ; cette droite est le diamètre conjugué du plan diamétrtU a parallèle aux plans considérés, puisqu'elle renferme à la fois le centre de la section faite par ce plan a et le pôle de ce plan. Les deux plans tangents parallèles aux plans considérés auront leurs pôles, c*est-à-dire leurs points de contact, sur cette droite L', d'où Ton voit que tout plan tangent à une surface dtu second ordre est parallèle au plan diamétral conjugué du diU'^ mètre qui passe par le point de contact. Enfin si Ton mène deux plans conjugués quelconques parle diamètre L', le premier coupera les plans a,, 2,,..., suivant des droites A,, „... parallèles entre elles; le second coupera les mêmes plans suivant des droites Â'., Â',^ ... parallèles entre elles; d'ailleurs les couples (ÂpA'i), (A,, A,),., seront des diamètres conjugués des sections C, , C,, . . .^ faites par les plans Xp a,, . . . Ainsi, à chaque système de diamètres conjugués dans la conique Cp répondra dans chacune des coniques C,,. . . un système de diamètres conjugués respectivement parallèles à ceux de C,. Donc les sections C,, C,, .* . . faites par des plans parallèles dans une surface du second ordre, sont semblables et sembla^ blement placées.

1148. Par l'un des trois axes d'une surface du second ordre, passent deux plans 7 et y' (1146) ayant pour plans bissecteurs les deux plans principaux contenant cet axe et jouissant de cette propriété^ que tout couple de diamètres conjugués situé dans l'un quelconque ( 7 ou 7') de ces plans est rectangulaire. Ces deux plans 7 et 7' coupent donc la surface .suivant des cercles, et on les nomme plans cycliques. Les sections par des plans parallèles aux plans cycliques sont donc aussi des cercles (il47), et Ton a ainsi deux séries de sections circulaires dont les centres sont situés sur les diamètres conjugués des deux plans cycliques; les quatre points où ces deux diamètres rencontrent la surface prennent le nom d'ombilics.

Surfaces réglées du second ordre.

1149. On dit que deux faisceaux de plans (585) sont homographiques lorsqu'on peut trouver deux droites sur lesquelles ils tracent deux divisions homographiques ; une droite quelconque est alors coupée par le premier fiiisceau suivant une division homographique de celle que le second faisceau détermine sur une seconde droite quelconque. Le rapport anharmonique de quatre plans quelconques du premier faisceau est égal au rapport anharmonique des quatre plans homologues de l'autre faisceau, etc.

La surface réglée, lieu des intersections des plans homologues de deux faiscecMx homographiques, est du second ordre; car, si on la coupe par un plan quelconque o, les deux faisceaux de plans coupent ce plan or suivant deux faisceaux de droites qui sont homographiques, et la section

4^^* GftOKtTEIB DANS l'bSPACB.

de la surface par ce plan 0 est le lieu des intersections des rayons homologues de ces deux faisceaux de droites, c'est^-dire (1097 ) une conique. Û existe donc des surfaces réglées du second ordre.

liSO. Béciproquement, toute surface réglée du second ordre peut être considérée comme le lieu des intersections des plans Jiomologues de eleujfaisceaux de plans homographitjues. Nous décomposerons la démonstration en plusieurs parties, et elle nous permettra de mettre en évidence les principales propriétés de ces surfaces réglées.

1° Trois droites A, B, C, appartenant à la surface ne peuvent passer par un même point 0, à moins que toutes les droites de la surface ne passent par ce point. Car, toute autre droite D de la surface, ne passant pas par le sommet 0 du trièdre formé par Â, B, C, aurait au moins avec 1 une des faces de ce trièdre un point commun non situé sur les arêtes ; par suite, le plan de. cette face aurait en commun avec la surface deux arêtes du trièdre et de plus un point extérieur à ces arêtes, de sorte que le degré de la section serait supérieur au second. Les surfaces réglées du second ordre se partagent donc en deux groupes : Fun relatif aux surfaces dont toutes les génératrices passent par un même point, Tautre relatif aux surfaces dont trois droites ne pussent jamais par un même point. Les surfaces du premier groupe sont les cônes, et en particulier les cylintires lorsque le point de concours de toutes les génératrices est à l'infini. Les cônes du second degré jouissent évidemment de la propriété énoncée ; car, toute section faite par un plan ne contenant pas le sommet est une conique, qui peut être considérée comme le lieu des intersections des rayons homologues de deux faisceaux homographiques ; les plans déterminés par les génératrices fixes qui aboutissent aux centres de ces deux faisceaux et par la génératrice variable qui aboutit à un point quelconque de la conique, sont donc homographiques. Nous n'avons par conséquent à considérer que les surfaces réglées proprement dites, c*est-à-dire celles dont trois droites ne passent jamais par un même point.

^^ Soit G Tune des génératrices de la surface. Tout plan passant par G donne dans la surface une conique qui se compose nécessairement de h droite G et d'une autre droite. Si Ton coupe la surface par une série de plans 7, 7', 7*,..., passant par G, on obtiendra donc une série de droites L, L', L',. . ., qui formeront un système de génératrices réctilignes. Toutes ces droites rencontrent G en des points différents, sans quoi par un même point passeraient trois droites de la surface; par suite, deux quelconques ^es génératrices L, L', L",... ne sont jamais dans un même plan. Actuellement, par l'une Lde ces droites, menons une série de plans )., V, V,... : nous obtiendrons une nouvelle série de droite G, G', G",..., dont G fera évidemment partie et qui formeront un second système de génératrices réctilignes; on verra comme ci-dessus que deux quelconques de ces génératrices ne sauraient être dans un même plan. Donc, en résumé, la

LIVRB fin. — LBS COUBU» US0BLLB8. 4^^*

surface admet deux systèmes (Q) et (L) de génératrices rertiÏÏgnes ; par un point quelconque m de la surface passe une génératrice de chaque système (ces deux génératrices sont fourniei par les plans menés par m et chacune des deux droites fixes G et L] ; le plan de ces deux généra^ triées est le plan tangent en m à la surface. Deux génératrices d'un même système ne sont jamais dans un même plan ; une génératrice quel^ conque de Pun des systèmes rencontre toutes celles de l'autre système,

y Puisque trois droites suffisent pour régler le mouvement d une droite mobile assujettie à s*appuyer sur elles, et qu'une génératrice de Tun des systèmes doit rencontrer toutes celles de Tautre système, on voit que la surface peut être considérée comme engendrée par une droite qui ren* contre sans cesse trois droites fixes L, L', L*.

4** Sur ]*une L de ces trois droites fixes prenons une série de points 0, ^, c, r/, . . . ; par chacun de ces points et par les deux autres droites fixes L' et L* menons deux plans ; nous obtiendrons ainsi deux faisceaux de plans homographiques dont L' et L* seront les axes et tels que les intersections des plans homologues rencontrent les trois directrices L, L', t'» c'est-à-dire soient des génératrices de la surrace. La surface est donc le lieu des intersections des plans homologues de deux faisceaux de plans homographiques y comme nous l'avons annoncé.

Nous avons vu (i^) que les cônes rentrent dans cette définition; ils répondent au cas où les axes des deux faisceaux se rencontrent ; quand les axes sont parallèles, les cônes deviennent des cylindres.

llSi. Voici encore d'autres propriétés importantes des surfaces réglées proprement dites du second ordre (nous étudierons les cônes dans le paragraphe suivant).

Le faisceau de plans passant par L' rencontre les deux autres directrices L et L' et détermine sur elles deux divisions homographiques; les droites qui joignent les points homologues de ces deux divisions s'appuient à la fois sur L, L', L'; ce sont des génératrices de la surface. Donc toute surface réglée du second ordre est le lieu des droites qui ditisent homographiquement deux droites fixes.

Tout plan passant par un point quelconque m de la surface et qui ne contient aucune des deux génératrices G et L passant par ce point, coupe la surface suivant une conique qui passe par m et qui ne se réduit pas i deux droites, sans quoi la section serait d'un degré supérieur au second.

Chaque point d'une section plane résulte de l'intersection du plan sécant et d'une génératrice de la surface; toute section plane d'une surface réglée du second ordre est donc réelle. Par suite, en appliquant cette remarque au plan polaire o d'un point quelconque p de l'espace, on voit que tout point de l'espace est le sommet d'un cône réel circonscrit à la surface.

Le plan de Tinfini détermine une section réelle qui est : ou une conique ordinaire, ou un système de deux droites; la surface prend dans le premier

4^4* GÉOHftTKIB DANS l'bSPACB.

cas le nom àHiyperboloule à une nappe, et dans le second le nom de paraboioïde hyperbolique.

Cônes dû second ordre et coniques sphériques,

ii52. Dans le cône, le plan polaire o de tout point p de l'espace contient le sommet s^ et si le point p se déplace sur ps le plan polaire o ne change pas ; aussi convient-l-il de donner à ce plan ts le nom de plan polaire de la droite ps et à c^tte droite le nom de polaire du plan vr. Si la droite ps tourne autour du sommet s dans un plan, son plan polaire a tourne autour de la polaire de ce plan; cela résulte de ce que les traces de ps et de o sur un plan quelconque sont constamment pôle et polaire par rapport à la conique que ce plan détermine dans le cône.

Tout plan qui ne passe pas par le sommet a ce sommet pour pôle; le sommet est donc le pôle du plan de rinfini, c'est-à-dire/^ centre de la surface. Désormais, quand nous parlerons de droites et de plans conjugués par rapport à un cône du second ordre, nous entendrons toujours qu'il s't^it de plans et de droites passant par le sommet. Ainsi nous dirons que : I* une droite et un plan sont conjugués par rapport au cône lorsqu'ils passent par le sommet et que la droite est la polaire du plan ; n^ deux plans sont conjugués par rapport au cône quand ils passent par le sommet et que chacun d*eux contient la polaire de l'autre; 3* deux droites sont conjuguées par rapport au cône quand elles passent par le sommet et que chacune d'elles est située dans le plan polaire de l'autre.

Quand deux plans ou deux droites sont conjugués, leurs traces sur un plan quelconque sont conjuguées par rapport à la conique que ce plan détermine dans le cône.

Quand un cône est circonscrit à une surface du second ordre, les droites et les plans conjugués par rapport au cône sont aussi conjugués par rap^ port à la surface; car, d'abord leurs traces sur le plan de la coniqae de contact sont conjuguées par rapport à celte conique, et de plus oe plan est le plan polaire du sommet du cône par rapport à la surface.

Les sections d*un cône du second ordre par des plans parallèles sont semblables (1147), et le lieu des centres est la polaire du plan a mené par le sommet du cône parallèlement aux plans sécants. Ces sections sont des ellipses, des paraboles ou des hyperboles suivant que le plan x ne contient pas de génératrices, en renferme une seule ou en contient deux.

Une droite passant par le sommet d'un cône du second ordre est dite intérieure ou extérieure au cône, suivant que sa trace sur un plan quelconque qui ne passe pas par le sommet est intérieure ou extérieure à la conique que ce plan détermine dans le cône. Un point de Tespace est dit intérieur ou extérieur au cône, suivant que la droite qui unit ce point au sommet est elle-même intérieure ou extérieure.

LITBB yill. — LES G0DRBB8 USUELLES. 4^5.

\i}S3, Le sommet d'un cône du second ordre est le sommet d'une infinité de triôdres polaires (li 44), c'est-à-dire de trièdres tels que chaque arête est la polaire de la face opposée. Les trois arêtes forment un système de trois diamètres conjugués ; l'un de ces diamètres est intérieur au cône et les deux autres sont extérieurs ; cela résulte de ce que la trace du trièdre sur un plan quelconque est un triangle polaire par rapport à la conique section du cône par ce plan, et un tel triangle a toujours un sommet intérieur et deux sommets extérieurs à la conique.

L'un de ces trièdres polaires est trirectangle; ses arêtes sont les trois axes du cône; l'un est intérieur et les deux autres sont extérieurs.

Tout plan perpendiculaire à l'un des axes détermine dans le cône une conique qui a son centre sur cet axe et ses axes parallèles aux deux autres axes du cône. Tout plan perpendiculaire à l'axe intérieur du cône donne une ellipse, et tout plan perpendiculaire à l'un des deux autres axes donne une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux deux génératrices du cône parallèles au plan sécant. On nomme axe principal du cône, l'axe intérieur, grand axe celui qui est parallèle au grand axe de Teilipee suivant laquelle le cône est coupé par un plan normal à l'axe principal, petit axe celui qui est parallèle au petit axe de la même ellipse ; on appelle plan de la grande section le plan de l'axe principal et du grand axe, plan de la petite section le plan de Taxe principal et du petit axe, plan principal le plan du grand et du petit axe. Le plan principal ne coupe le cône suivant aucune arête ; de tous les plans conduits par l'axe principal, le plan de la grande section et le plan de la petite section sont ceux qui coupent le cône suivant les deux arêtes qui font entre elles respectivement l'angle maximum et l'angle minimum. Les plans tangents au cône menés par le grand axe le touchent suivant les deux arêtes conter nues dans le plan de la petite section ; les plans tangents conduits par le petit axe touchent le cône suivant les deux arêtes contenues dans le plan de la grande section ; enfin, par l'axe principal, on ne peut mener aucun plan tangent au cône.

Le cône est de révolution quand la section par un plan perpendiculaire à Taxe intérieur est un cercle.

HSU. Dans tout cône du second ordre, on nomme /ocis/^j les deux droites passant par le sommet et dont chacune jouit de cette propriété, que tout couple de plans conjugués passant par cette droile est rectangulaire (H44). Tout plan perpendiculaire à une focale coupe le cône suivant une conique qui a pour foyer le pied de cette focale, car autour de ce pied tous les couples de droites conjuguées par rapport à la conique sont rectangulaires. On sait (i 146) que les deux focales sont situées dans l'un des plans diamétraux principaux du cône et ont pour bissectrices les deux axes situés dans ce plan; il résulte en outre de la propriété qu'on vient de dé-