LIVRE YUI. — LB8 C0UBBB8 USITBLLBS

(4''), de sorte que le grand axe de Tun est le petit axe de l'autre; 6" aux plans cycliques de Z répondent les focales de V\ car, à tout couple de droites conjuguées par rapport à 2 et situées dans un plan cyclique, ré* pond dans 2' un couple de plans conjugués passant par la perpendiculaire à ce plan cyclique, et ce couple de plans est rectangulaire puisque le couple de droites Test.

Il est clair d'après cela que les propriétés des cônes du. second degré sont doubles ^ comme celles des trièdres et des triangles sphériques (572, 825). Ainsi à chaque propriété des plans cycliques répond, par la considération du c6ne supplémentaire» une propriété des lignes focales, ei inversement. Nous allons en citer quelques exemples importants, mais il faut auparavant donner une définition.

i 157. Nous savons que la polaire d*un plan cyclique est le diamètre, lieu des centres des sections circulaires parallèles à ce plan cyclique. D'ailleurs, à un plan cyclique et à sa polaire répondent, dans le cône supplémentaire, une ligne focale et son plan polaire. De même que dans les coniques on donne le nom de directrice à la polaire du foyer, on donne dans les cônes le nom ^^ plan directeur au plan polaire d'une focale. Ainsi, uncôneuiu second ordre a deux focales et, par suite, deux plans directeurs. Cela posé, voici les propriétés fondamentales des plans cycliques et des focales; les théorèmes sont disposés sur deux colonnes ; de cette manière, on trouve à côté Tune de l'aiitre les propositions corrélatives ^ c'est-à-dire les propositions qui résultent l'une de l'autre par la considération du cône supplémentaire, et il suffît chaque fois de démontrer l'une de ces deux propositions.

Dans tout cône du second ordre, les sinus des angles que c/taque plan tangent fait avec un plan cyclique et avec la polaire de ce plan cyclique , ont un rapport constant.

Dans tout cône du second ordre, les sinus des angles que cliaque arête forme avec une ligne jocale et avec le plan directeur correspondant, ont un rapport constant.

En effet, coupons le cône par un plan parallèle à un plan cyclique et, du centre de cette section circulaire, qui est un point de la polaire du plan cyclique, abaissons une perpendiculaire sur un plan tangent au cône. Le sinus de l'angle du plan tangent et du plan du cercle est égal à cette perpendiculaire divisée par le rayon du cercle ; le sinus de l'angle du plan tangent et de l'axe polaire du plan cyclique est égal à la même perpendiculaire divisée par la dislance du sommet du cône au centre de la section circulaire. Le rapport des sinus ne dépend donc que du rayon du cercle et de la distance de son centre au sommet, et nullement du plan tangent considéré.

Tout plan tangent à un cône du second ordre coupe les deux plans

Les plans menés par les deux focales ffu/i cône du second ordre

^aS. GÉOMÉTRIB BAKS l'BSPACB.

cycliques suivant deux droites éga- et par une arête quelconr/ue sont tentent inclinées sur l* arête de con-- également inclinés sur le plan tan' tact. gent suivant cette arête.

En effet, coupons le cône par deux planç parallèles à ses deux plans cycliques ; les sections seront deux cercles situés sur une même sphère. Une arête quelconque du cône coupe ces cercles, et les tangentes à ces cercles aux points de rencontre obtenus sont situées dans le plan tangent au cône suivant Taréte considérée ; ces deux droites étant tangentes à une même sphère et comprises dans un même plan sont égaleipent inclinées sur la corde qui unit les points de contact, c'est-à-dire sur Tarêteda cône, et lorsque ces droites sont parallèles à celles suivant lesquelles le plan tangent coupe les plans cycliques^ le théorème est démontra.

La somme (ou la différence) des angles dièdres que chaque plan tangent à un cône du second ordre forme avec les deux plans cycliques, est constante.

La somme (ou Az différence) des angles que chaque arête dun cône du second ordre forme avec les deux focales^ est constante.

Dans les deux cas précédents, nous avons démontré le théorème de gauche; ici, nous démontrerons le théorème de droite .Il suffit à cet effet de considérer ce qui se passe sur une sphère ayant pour centre le sommet du cône. Une nappe du cône coupe la sphère suivant une courbe qu'on nomme ellipse sphériqucy et les deux points déterminés sur cette portion de sphère par les focales du cône sont dits les foyers de cette conique. Cela posé, si M est un poinl de cette conique sphérique et si F et F' sont ses foyers, il suffit de prouver que la somme des arcs de grand cercle FM + PU est constante, sachant, d'après le théorème précédent, que Tare de grand cercle tangent à la conique au point M est également incliné sur les deux arcs vecteurs BfF et MF'. Le raisonnement est analogue à celui du n' 984.

De là résulte un nouveau point de vue sous lequel on peut considérer les propositions qui précèdent et, en général, les propriétés des cônes du second ordre. Il n'entre pas dans notre plan de développer ce nouvel ordre d'idées ni d'insister davantage sur les propriétés des cônes. Nous renverrons le lecteur aux Mémoires de M. Chaslbs sur les propriétés générales des cônes du second ordre et des coniques sphériques^ qui font partie du tome VI du Recueil de V Académie de Bruxelles (année 1829). Nous ajouterons seulement ici quelques détails sur la définition des coniques sphériques.

1158. Une conique sphérique est l'ensemble des deux courbes fermées dites ellipses sphériques su\\ani lesquelles un cône du second ordre coupe une sphère ayant le sommet pour centre. Ces deux courbes sont symé-

LITBB YIII. » LB8 COURBES USOBLLBS. 4^9*

triqaes par rapport à chacun des trois grands cercles suivant lesquels les plans diamétraux principaux du cône coupent la sphère.

Considérons le plan principal du cône, et ne prenons que Thémisphère et la nappe du cône situés au-dessus de ce plan. Cette nappe déterminera sur la sphère une ellipse sphérique dont le centre et les sommets seront les points où la sphère est percée par Taxe principal et par les génératrices situées dans les plans de la grande et de la petite section ; les foyers répondront aux lignes focales ; les plans cycliques du cône couperont l'hémisphère considéré suivant deux demi-grands cercles ayant le grand axe du cône pour diamètre commun : ce grand axe est compris dans le plan du plus grand arc diamètre de l'ellipse sphérique^ et ces deux demi-grands cercles dits arcs cycliques de Tellipse sphérique sont perpendiculaires au plus petit arc diamètre de l'ellipse et ne rencontrent jamais celle courbe.

Considérons en second lieu le plan de la petite section du cône, et la partie de la conique sphérique située d'un seul côté de ce plan ; elle est composée de deux branches, moitiés des deux ellipses sphériques et symétriques par rapport au plan diamétral perpendiculaire à l'axe principal du cône ; on lui donne le nom à'hjrperbole sphérique. Son centre est le point où le grand axe du cône perce l'hémisphère qui contient la courbe, et ses foyers, intersections de cet hémisphère et des lignes focales, se trouvent sur l'arc de grand cercle qui unit les deux seuls sommets de la courbe. Pour tout point M de l'hyperbole sphérique, c'est la différence (et non la somme) des arcs vecteurs MF et MF' qui est constante. Quant aux plans cycliques du cône, ils coupent l'hémisphère suivant deux demigrands cercles passant par le centre de l'hyperbole et également inclinés sur l'arc qui joint les foyers ; ce sont les arcs cjrliques de l'hyperbole.

Enfin, si l'on considérait l'hémisphère situé d'un côté du plan de la grande section du cône, lequel plan contient les lignes focales, on aurait deux moitiés de demi-ellipses sphériques se présentant leurs concavités et dont l'ensemble forme une troisième espèce de courbe sphérique. Cette courbe a un centre intersection de la sphère et du petit axe du cône, quatre fojrers situés dans le plan de la grande section du cône, et deux arcs cycliques situés entre les deux branches de la courbe et perpendiculaires à l'arc de grand cercle qui joint les deux sommets.

Les trois courbes que nous venons de considérer sont des portions de la courbe unique dite conique sphén'que qui est l'intersection complète de la sphère et du cône.

A une conique sphérique, répond une conique sphérique supplémentaire ; c'est l'intersection de la sphère par le cône supplémentaire de celui qui produit la première conique. On peut aussi parvenir directement à cette conique supplémentaire en la considérant comme l'enveloppe des arcs de grands cercles d«nt les plans sont normaux aux rayons de la sphère menés par les différents points de la conique primitive.

43o. GÉOMlftTftll DANS l'bSPACB.

Les arcs cycliques de Tune des coniques sont dans les plans diamétraux perpendiculaires aux diamètres de la sphère qui passent par les foyers de l'autre conique.

Les deux théorèmes relatifs à rinvariabililé de la somme ou de la différence des arcs vecteurs d'une conique sphérique, et à Tégale inclinaison de Tare de grand cercle tangent sur les arcs vecteurs sont dus à M. Magnus de Berlin (Annales de Gergonne^ i8a5).

liS9. Par deux sections planes quelconques d'une surface ihi second ordre y on peut toujours faire passer deux cônes. En effet, considérons la droite L' polaire réciproque de Tintersection L des deux plans, c'est-à-dire de la sécante commune aux deux courbes ; par cette droite L' et par un point m quelconque de Tune des courbes, menons un plan, et soient/? et q les points communs à ce plan et à la seconde courbe ; du point s od mp rencontre L', projetons la première courbe sur le plan de la seconde ; cette seconde courbe et la projection de la première se confondront, car ce sont des coniques ayant trois points communs, dont deux, situés sur la sécante commune L, sont des points de contact. Le point s est donc le sommet d'un cône passant par les deux courbes, et l'intersection de L' et de mq serait le sommet s' d'un second cône jouissant de la même propriété.

ffyperbolotde à mie nappe.

1i60. Nous avons nommé hjrperboloïde à une nappe [fig, 674) celle des deux surfaces réglées proprement dites du second ordre que le plan de rinfini coupe suivant une conique C qui ne' se réduit pas à deux droites.

Le plan dé l'inâni n'étant pas tangent à la surface ne contient pas son propre pôle ; ce pôle, c'est-à-dire le centre de la surface est donc à distance finie. Si l'on transporte à ce centre 0 et parallèlement à elles-mêmes toutes les génératrices de la surface, les droites ainsi transportées conservent leurs mêmes points à TinBni ; on obtient donc un cône ayant pour sommet 0 et pour base la conique C, et comme le point 0 est le pôle du plan de la conique C, on voit que ce cône est' tangent à la surface tout le long de la conique C située à l'infini ; ce cône, enveloppe des plans tangents à l'infini à la surface, ou, comme on dit plus rapidement, des plans asyinptotiques de la surface, prend le nom de cône asymptote de rhyperboloïde. La surface est tout entière à l'extérieur de ce cône, sans quoi il y aurait des génératrices qui le couperaient à distance finie.

Par chaque point de la conique C passent deux génératrices, une de chaque système ; donc à chaque génératrice d'un système répond dans l'autre système une génératrice parallèle, et, par suite, chaque génératrice du cône asymptote est parallèle à deux génératrices de la surface.

Trois génératrices d'un même système ne sauraient être parallèles à un même plan^ sans quoi les trois génératrices correspondantes du cône

LITRB Tllf. — LES C0UEBE8 USUELLES. 4^1.

asymptote seraient dans un même plan, ce qui est absurde, puisque le cône est du second ordre.

ii61 . Les sections planes de la surrace peuvent être des hyperboles, des paraboles ou des ellipses suivant les positions du plan sécant, car, suivant que ce plan coupe la conique C en deux points, la touche ou ne la rencontre pas, le nombre des points à Tinfini dans la section est 2, i ou o. D'ailleurs les sections P et P, de la surface et du cône asymptote par un même plan quelconque u sont semblables, se mblablement placées et concentriques. En effet, soient D et D' deui diamètres conjugués de la section P faite par le plan o dans ta surface ; les plans déterminés par le centre 0 de Thyperboloïde et par chacune des droites D et D' seront

rig. 574.

diamétraux conjugués par rapport à cet hyperboloïde ; donc ils le seront aussi par rapport au cône, puisque (1152) le cône et la surface ont les mêmes systèmes de droites et de plans conjugués; par suite les intersections de ces deux plans par le plan cr, c'esl-à-dire les droites D et D' ellesmêmes, seront deux diamètres conjugués de la section P, faite par le plan cr dans le cône asymptote. En particulier, les plans cycliques du cône asymptote coupent donc l "* hyperboloïde suivant des cercles ; on les nomme plans cycliques de T hyperboloïde ; tout plan parallèle à un plan cyclique donne une section circulaire (1147).

1162. Puisqu'à tout diamètre de Thyperboloïde répond le même plan diamétral, soit dans cel hyperboloïde, soit dans le cône asymptote, Thyperboloïde et le cône ont les mêmes systèmes de diamètres conjugués

43a. GÉOHÉTIIX DANS l'bSPACB.

et, par suite, les mêmes axes et les mêmes plans principaux. Des trois axes, l'un oz est donc intérieur (1153), et les deux autres ox et oj sont extérieurs et coupent seuls la surface; il y a donc deux sommets imaginaires, et quatre sommets réels; le plan principal xojr coupe la surface suivant une ellipse qu'on nomme ellipse de gorge, et les plans principaux xoz et x^^ 1^ coupent suivanjt des hyperboles. Toute section par un plan parallèle au plan xojr est une ellipse semblable à lellipse de gorge et dont les sommets sont situés sur les hyperboles principales; de là, découle un mode de génération fort simple de la surface.

1163. Si l*on projette toutes les génératrices d'un hyperboloïde sur un pian diamétral quelconque o à i'aide de projetantes parallèles ait dia^ mètre D conjugué du plan tr, les projections des génératrices sont tangentes à la section ? faite dans la surface par le plan cr. En effet, soient G une génératrice quelconque et m le point où elle rencontre la courbe P. Le plan tangent au point m est parallèle au plan diamétral conjugué du diamètre qui aboutit en m, lequel plan diamétral contient D; donc le plan tangent en m' passant par les génératrices G et étant parallèle à D, est précisément le plan projetant de cette génératrice; par suite, la projection de cette génératrice est Tintersection du plan a et du plan tangent à la surface, c'est-à-dire est la tangente en m à la courbe P.

En particulier, les projections ortlutgonales des génératrices sur les plans principaux enveloppent les hyperboles principales.

1164. Quand les deux axes réels ont la même longueur, Tellipse de gorge devient un cercle, et la surface, lieu des cercles dont les plans sont perpendiculaires à l'axe oz, et dont les centres sont sur cet axe, est de révolution ; cet hyperboloïde de révolution résulte de la rotation de l'hyperbole principale autour de son axe non transverse.

Paraboloïde hyperbolique,

1165. Nous avons appelé paraboloïde hyperbolique celle des deux surfeoes réglées proprement dites du second ordre qui a une génératrice de chaque système G. et L. dans le plan de l'infini. Cette surface est donc tangente à ce plan de Tinfini, et par suite le pôle de ce plan, c'est-à-dire le centre de la surface, est à Tinfini. L'un des plans principaux passe alors à rinfini ainsi que les deux axes quil contient, et il ne reste à distance finie qu'un seul axe et les deux plans principaux qui passent par cet axe, auquel tous les diamètres deviennent d*ailleurs parallèles.

Tout plan passant par Vaxe donne dans la surface une conique symétrique par rapport à cet axe et dont le second axe disparait à l'infini : cette conique est donc une parabole. Toutes ces paraboles ont leur sommet en un même point commun à Taxe et à la surface, qu on nomme sommet de la surface.