LIYRB VIII. — LES COURBES USUELLES

Toute section par un plan xs parallèle à Vaxe est une parabole égale à celle que détermine le plan u' mené par l'axe parallèlement au plan proposé. En effet, d'abord la section par le plan o est une parabole puisqu'elle est semblable à la section faite par le plan a'; puis, ces deux paraboles sont égales, attendu que Tun des cônes qu'on peut mener par ces deux courbes (1459) dégénère en un cylindre dont ces courbes sont deux sections parallèles.

Fig. 575.

1166. Les sections par des plans non parallèles à l'axe sont des hyperboles, puisque ces plans coupent les génératrices G, et L, situées à Tinfini en deux points. Étudions spécialement les sections hyperboliques dont les plans sont normaux à Taxe. Désignons par o le sommet, par ox la partie de Taxe située à droite de o et par ox' la partie de l'axe située à gauche. Le plan perpendiculaire à Taxe mené par le sommet o est tangent à la surface, puisqu'il est conjugué à la direction ox; il contient doiic deux génératrices que nous nommerons og et o/, et c'est à ces deux droites que se réduit ici la section hyperboliqne. L*hyperbole obtenue en coupant par tout autre plan normal à Taxe doit donc avoir ses asymptotes parallèles à og et ol; ces asymptotes sont donc les inlersections du plan considéré et des deux plans fixes gox, lox ; par suite, si Ton* désigne par ou et ov la bissectrice de l'angle gol et celle de son supplément, les plans uox, vox^ devront contenir les axes de toutes ces hyperboles, de sorte que ces plans sont les plans principaux ; ils coupent la surface suivant deux paraboles ayant même sommet o, et pour axes Tune oj:, l'autre or'; car si ces paraboles principales étaient tournées du môme côté, par exemple toutes les deux à droite de o, les sections hyperboliques faites par des plans normaux à Taxe et à droite de o auraient quatre sommets réels, ce qui est absurde. Ainsi, en résumé les hyperboles obtenues en coupant par des plans perpendiculaires à Taxe sont situées : à droite du sommet, dans Tun des angles formés par les plans gox^ lox ( el U. 28

434 • GfiOVÉTRlE DANS l'bSPACB.

dans son opposé) ; et à gauche du sommet, dans le supplément de cet angle (et dans son opposé).

1167. Tout plan parallèle à Tun des plans principaux coupant la surface suivant une parabole égale à celle que détermine ce plan principal, on voit que la surface peut être engendrée par Vune des paraboles principales glissant parallèlement à elle-même de façon que son sommet décrive F autre parabole principale ; ce mode de génération est celui qui révèle le plus nettement la forme de la surface. Ajoutons quV/z projection orthogonale sur un plan principal, les génératrices enveloppent la parabole principale,

1168. Le plan gox^ coupant la surface suivant une première génératrice og^ doit les couper encore suivant une génératrice du système opposé ; et cette seconde génératrice doit être à rinûni, sans quoi Taxe ox rencontrerait la surface en deux points à distance finie; C'est donc la génératrice L,. Or toute autre génératrice G du même système que o^est

. dans un même plan or avec L, ; les deux plans o et gox ayant leur intersection L^ à l'infini sont parallèles ; donc G est parallèle au plan gox. Ainsi, toutes les génératrices d'un système sont parallèles au plan gox^ et Ton verrait de même que toutes les génératrices de P autre système sont parallèles au plan lox. Les deux plans fixes gox^ lox^ prennent le nom de plans directeurs de la surface. Il résulte du n^ 1166 que les plans principaux divisent en deux parties égales les angles dièdres formés par les pUms directeurs.

Toutes les génératrices d'un système étant parallèles à un même plan, ces droites divisent deux génératrices quelconques de l'autre système en parties proportionnelles; et la surface peut être considérée comme engendrée par une droite mobile formant sur deux droites fixes deux divisions homographiques semblables. Cette propriété est très-utile dans les applications; on l'utilise aussi pour construire des modèles en fil de la surface.

Surfaces du second ordre non réglées,

1169. Il nous reste à étudier les surfaces non réglées du second ordre.

Tout plan tangent a à l'une quelconque de ces surfaces en un point a n*a en commun avec cette surface que le^oint a ; car s'il en avait un autre hy la droite ab serait commune au plan a et au plan polaire ^ de ^ ; elle serait donc sa propre polaire, et chacun de ses points étant à lui-même son conjugué serait sur la surface. U y aurait donc sur la surlace une droite ab^ et, par suite, il y en aurait une infinité.

U suit de là que si Ton mène de part et d'autre d'un plan tangent a deux plans parallèles et infiniment voisins, un seul de ces deux plans

LIYBE TIII. — LIS GOUEBBS USUELLES. 4^-

rencontrera la surface. Il y a donc dans l'espace des plans qui ne rencontrent pas la surface, des plans qui la coupent, et des plans qui n'ont qu'un point commun avec elle ; les pôles de ces plans sont pour les premiers intérieurs à la surface, pour les seconds extérieurs, et pour les derniers situés sur la surface.

On classe les surfaces non réglées du second ordre par la considération du plan tangent à l'infini. Ce plan peut être extérieur à la surface, la toucher ou la couper suivant une conique qui diffère de deux droites. De là, trois surfaces distinctes auxquelles on donne les noms suivantes :

/ n*ayaiit aucun point à Tin- ) „,,.

«ni \Elhp.o,de.

Surfaces du socond I i ^ V

ordre sur lesquelles 1 "**/* au p an e """ j p^^^^^j-^^ ^/^^^^-^^^

on ne peut placer \ ^

avcune droite \ coupée par le plan de Tlnfini \

f suivant une conique ordi- | Ifyperbolotde à dtux nappes. naire ) '

Nous allons décrire successivement ces trois surfaces.

Ellipsoïde.

1170. L'ellipsoïde {^g. 676), n'ayant aucun point à l'infini, n'admet que des sections planes elliptiques. Le centre est intérieur à la surface et, par suite, les trois axes rencontrent la surface chacun en deux points réels; ces trois axes ontgénéralementdes longueurs différentes; combinés deux à deux, ils forment les axes des trois ellipses principales. Les sections par des plans parallèles à un plan principal sont des ellipses semblables à l'ellipse principale correspondante, et dont les sommets sont situés sur les deux au-^ très ellipses principales; de là, un mode de génération très -expressif de la surface.

Les deux plans cycliques passent évidemment par Taxe moyen ; leurs traces sur le plan des deux autres axes sont les diamètres communs à l'ellipse principale située dans ce plan et au cercle concentrique décrit avec un rayon égal à l'axe moyen. Tout plan parallèle à un plan cyclique coupe Tellipsoïde suivant un cercle ; le lieu des centres des sections circulaires est formé de deux diamètres de Tellipse principale qui a pour axes Taxe maximum et l'axe minimum ; ctâ diamètres, qui sont respectivement conjugués aux traces des deux plans cycliques, rencontrent l'ellipse en quatre points réels ; ce sont les ombilics.

1171. Soient oû', ob\ oc\ un système de trois demi-diamètres conjugués, et oay oby oc, les trois demi-axes. Conservons le diamètre oc* et substituons à oa' et ob' deux autres diamètres oa' et ob' conjugués entre eux

dans ie plan a*oh\ et dont l'un o/z" soit l'intersection de ce plan avec le plan aoh\ on aura

oa -t- oV = oà* -f- ob" »

Les trois droites o//, ob\ oc\ formeront encore un système de diamètres conjugués, et le plan Voc' contiendra l'axe oc, puisque o<f est dans Je plan principal mh. Conservons maintenant o/i", et remplaçons oh' et oc* par

Fig. 576.

deux nouveaux diamètres conjugués situés dans le plan c'oh", et dont l'un, o6p soit l'intersection de ce plan avec le plan aoh\ alors oa' et ob^ se trouvant Tun et l'autre dans le plan principal aoh^ le conjugué de ob^ ne sera autre que l'axe oc, et Ton aura

— î — î — 2 — 2 ob" -h oc' = o^, 4- oc .

Enfin, la comparaison du système actuel oa", 06,, oc^ avec le système oa, oh^ oc, donne

— 7 — 2 — a — 2 oa" ■+• ob^ = oa -h ob ,

et, en ajoutant les trois relations précédentes, on obtient

— -2 — -J — 2 — 2^ —-2 — a oa -\-ob' -h oc' = oa -h 00 -f- oc ,

ce qui donne la généralisation du premier des théorèmes d'Apollonius (nMi08) :

La somme des carrés de trois diamètres conjugués quelconques est constante.