LIVRE VIII. — LES éoURBBS USUELLES
Le second théorème d*Apo1Ionius se généralise de même :
Le volume du parallélipipède construit sur trois diamètres conjugués quelconques est constant.
En effet, on a évidemment
vol. (oa\ oh\ oc') = vol. (oû", ob'^ oc'),
puisque ces deux corps ont la même hauteur et des bases équivalentes comme parallélogrammes construits sur les deux systèmes de diamètres conjugués oa' et ob', oa' et ob'y de la section faite par le plan a'ob'. On' a de môme
vol. (ofl", 06', oc') = vol. (ort", ob^y oc) = vol. (on, ob^oc)^
d'où résulte
vol. (oa\ ob'y oc') = vol. (on, ob, oc).
1172. Si deux des axes sont égaux, l'ellipsoïde devient de révolution autour du troisième axe. Enfin, si les trois axes sont égaux, Teilipsoïde se réduit à une spl^ère.
Paraboloïde elliptique.
1173. Le paraboloïde elliptique (^g. 5yy) est tangent au plan de Tinfini. Son centre est donc à l'infini, ainsi que Pun des plans principaux et les deux axes qu'il contient. Il ne reste à distance finie qn'un seul axe et les deux plans principaux qui passent par cet axe , auquel tous les diamètres sont d'ailleurs parallèles.
^éz,^
Toute section passant par l'axe est tangente à la droite de l'infini; c'est une parabole ayant pour axe Taxe même de la surface et pour sommet le point où cet axe rencontre le paraboloïde, c'est-à-dire le sommet
de cette surface. Toute section par un plan parallèle à Vaxe est une parabole égale à celle que déterminerait un plan parallèle passant par Vaxe,
Les sections par les plans non parallèles à Vaxe sont des ellipses y puisque ces sections n*ont aucun point commun à Tinfini. Les ellipses dont les plans sont normaux à l'axe ont leurs sommets sur les deux paraboles principales, qui, par suite, sont situées r une et Vautre d'un même côté lUi plan tangent au sommet. Enfin, la surface peut être engendrée par Vune des paraboles principales glissant parallèlement à elle-même de façon que son sommet décrive l'autre parabole principale.
Tous ces résultats s'aperçoivent aisément après ce qui a été dit (i165 et suiv. ) sur le paraboloïde hyperbolique.
Ajoutons que la surface admet deux séries de sections circulaires dont les plans sont perpendiculaires à la section principale de moindre paramètre et également inclinés sur l'autre section principale.
Si les deux paraboles principales ont même paramètre, le paraboloïde devient de révolution.
Hjrperboloïde à deux nappes.
1174. L'hyperboloïde à deux nappes (7^. 578) étant coupé par le plan de llnfini suivant une conique ordinaire G, a un centre o placé à distance
Fig. 578.
finie et extérieur à la surface. Le cône qui a le point o pour sommet et la conique G pour directrice est tangent à la surface tout le long de cette co-
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nique à Tinfini ; on le nomme cône asymptote^ et la surface étant intérieure à ce cône se compose de deux parties ou nappes séparées situées chacune dans l'une des nappes du cône. Les diamètres et plans diamétraux conjugués de la surface sont les mêmes que ceux du cône ; elle a donc les mêmes axes que ce cône ; Taxe intérieur au cône rencontre donc seul la surface qui n'a que deux sommets réels. Tout plan passant par l'axe transverse coupe la conique C de l'infini en deux points et, par suite, la surface suivant une hyperbole symétrique par rapport à cet axè et ayant pour sommets réels les deux sommeté réels de la surface ; ce fait met mieux encore en évidence la division de la surface en deux nappes.
Les sections par des plans perpendiculaires à l'axe transverse sont des ellipses semblables dont les sommets sont situés sur les deux hyperboles principales dont les plans passent par l'axe. Ces ellipses se réduisent à un point lorsque le plan sécant passe par l'un ou l'autre sommet; quand le plan sécant est entre les deux sommets, la section devient imaginaire.
Les plans cycliques de la surface sont les mêmes que ceux du cône asymptote.
Cette surface n'a aucune importance au point de vue des applications. Nous avons hâte d'ailleurs de terminer cette esquisse déjà bien longue de la théorie des surfaces du second ordre. Le lecteur qui voudra la lire la plume à la main , en restituant les figures une à une , n'éprouvera aucun embarras pour démontrer les points secondaires que nous n'avons fait qu'énoncer. Il pourra ensuite, s'il veut pousser plus avant cette étude, consulter avec le plus grand fruit le Supplément sur les propriétés projectwes des filtres dans l^ espace, de Poncelet; les Mémoires de M. Chasles sur les cônes, sur les coniques sphériques et sur les surfaces réglées, et enfin V Aperçu historique.
9IJESTIOIfS PROPOSEES.
§§ I, II. — Propriétés fondamentales de V ellipse et de V hyperbole.
871. Quelle est la plus courte et la plus grande distance du centre de l'ellipse à un point de la courbe?
872. Quel est le lieu du centre d'une ellipse qui glisse entre deux axes rectangulaires?
873. Deux ellipses dont les grands axes sont égaux et qui ont un foyer commun, ne peuvent se couper qu'en deux points.
44^* GfiOMfiTRIB DANS l'eSPAGB.
874. Quel est le lieu des points également distants de deux circonférences intérieures ou extérieures Tune à Tautçe?
875. Quel est le lieu des centres des cercles tangents à deux cercles donnés? — On examinera les différents cas possibles.
876. Sur les deux tangentes PM , PM', à une ellipse ou à une hyperbole dont les foyers sont F et F\ on prend des longueurs PQ , PQ', respectivement égales à PF et à PF'; démontrer que la droite QQ' est é^àle au grand axe de Tellipse ou à Taxe transverse de Thyperbole.
87.7. Le grand axe de Tellipse ou Taxe Iransverse de Thyperbole et une tangente quelconque interceptent, sur les deux tangentes menées aux extrémités de Taxe de la courbe , des longueurs dont le produit est constant.
878. Des cercles touchent une droite AB en un point fixe C, et des points fixes  et B on mène des tangentes à ces cercles; trouver le lieu des points d'intersection de ces tangentes. — Le point G peut être entre A et fi ou sur AB prolongée.
879. Soient les deux tangentes menées à Tellipse ou à Thyperbole par un point extérieur et une troisième tangente quelconque; démontrer que la longueur interceptée sur cette troisième tangente par les deux premières est vue de chaque foyer sous un angle constant.
880. Démontrer directement que si Ton mène à une hyperbole deux tangentes PM, PM', par un même point extérieur P, les angles PFH, PFM', sont égaux ou supplémentaires, suivant que les points de contact M et M' appartiennent ou non à la même moitié de la courbe.
881. Trouver le lieu des centres des ellipses dont le grand axe a la même longueur, qui ont un foyer commun et qui touchent une droite donnée.
882. Quel est le lieu des points d'où les tangentes menées à deux ellipses ou à deux hyperboles , ou bien encore à une ellipse et à une hyperbole, qui ont les mêmes foyers, sont à angle droit l'une sur l'autre?
883. Quels' senties lieux géométriques: l'^des sommets; 2'' des points de rencontre des côtés non parallèles; 3° des points d'intersection des diagonales, des trapèzes construits sur une base fixe, et dans lesquels la longueur de l'autre base est donnée ainsi que la somme ou la différence des côtés non parallèles?
884. Construire une ellipâe ou une hyperbole, connaissant : 1^ ses foyers et un point; a** ses foyers et une tangente; V un foyer, deux points et une tangente ; 4"* un foyer, un sommet et une tangente; 5° un foyer, deux
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tangentes et le point de contact de Tune d'elles; 6° un foyer et trois tan-' gentes ; 7* le centre, deux tangentes et la longueur du grand axe ou de Taxe transverse.
886. On donne les positions d'un foyer et d'un point d'une ellipse, ainsi que les longueurs des axes; déterminer son centre.
886. Le cercle qui a pour diamètre la portion d'une tangente quelconque à l'hyperbole interceptée par les tangentes menées aux extrémités de l'axe transTerse, passe par les foyers de la courbe.
§111. — Propriétés fondamentales de la parabole.
887. La perpendiculaire abaissée du foyer de la parabole sur une tangente à la courbe, est moyenne proportionnelle entre le rayon vecteur du point du contact et la moitié du paramètre p.
888. Si PM et PM' sont les deux tangentes menées à la parabole par un point extérieur P, les triangles FPM, FPM', sont semblables, et FP est la moyenne proportionnelle des rayons vecteurs FM, FM', des deux points de contact.
889. Si PM et PM' sont les deux tangentes menées à la parabole par un point extérieur P, démontrer que la parallèle menée à l'axe par le point P passe par le milieu de la corde MM', et que la tangente au point où cette parallèle rencontre la courbe est.elle-même parallèle à la corde MM'.
890. Si l'on rapporte la parabole à une tangente et au diamètre mené par son point de contact pris comme axes coordonnés, le carré de l'ordonnée d'un point de la courbe est égal à quatre fois le produit du rayon vecteur de l'extrémité du diamètre par Tabscisse du point considéré.
891. Si deux cordes de la parabole se coupent, les produits de leurs segments sont dans le rapport des rayons vecteurs des extrémités des diamètres qui leur sont conjugués.
892. MN étant une tangente commune à la parabole et au cercle décrit sur la corde menée perpendiculairement à l'axe par le foyer comme diamètre, démontrer que les droites FM et FN sont également inclinées sur cette corde.
893. La tangente en un point de la parabole rencontre la directrice et la corde menée par le foyer perpendiculairement à l'axe, en des points équidistants du foyer.
894. Si l'ordonnée d'un point M de la parabole passe par le milieu de la sous-normale qui correspond à un point M', l'ordonnée du point M esc égale à la normale qui correspond au point M'.
895. Si d'un point pris sur une tangente à la parabole on mène une autre tangente à la courbe, i*angle compris entre cette tangente et la droite menée du mâme point au foyer est constant.
896. Construire une parabole qui touche un cercle donné en un point donné , et dont l'axe soit tangent au même cercle en un autre point donné.
897. Si par le point de contact dune tangente à la parabole on tire une corde, puis qu'on trace une autre droite parallèle à Taxe, la portion de cette droite comprise entre la tangente et la corde sera divisée par son point de rencontre avec la courbe dans le même rapport que cette droite elle-même divise la corde.
898. Si le diamètre de la parabole menée par le point M rencontre la directrice en K et la corde menée par le foyer parallèlement à la tangente MT en H, on a
MK = MH.
899. Quel est le lieu du point dMntersection du diamètre mené en un point de la parabole avec la corde tracée par le foyer parallèlement à la tangente au même point?
900. ÂB et ÂG étant deux droites rectangulaires, on mène la droite quelconque ÂR et la parallèle fixe CR à ÂB ; puis on prend sur AR un point M tel, que son ordonnée MQ par rapport à AB soit égale à CR ; que! est le lieu du point M?
901. On considère dans un cercle un diamètre fixe AOB et un rayon quelconque OC; D étant le milieu de la corde CE menée parallèlement au diamètre fixe, on demande le lieu du point d'intersection des droites OC et AD.
902. Si deux tangentes égales à la parabole sont coupées par une troisième, les segments déterminés sur ces tangentes sont égaux, mais les segments égaux ne sont pas placés de même sur les deux tangentes.
903. Le cercle déterminé par les points d'intersection de trois tangentes à la parabole, passe par le foyer.
904. MFN étant une corde quelconque menée par le foyer de la parabole, si Ton trace du sommet S les droites SM et SN, elles rencontrent la corde focale perpendiculaire à l'axe en deux points P et Q dont les distances au foyer sont égales aux ordonnées des points N et M.
905. Si d'un point O pris sur Taxe de la parabole on mène une corde, la distance SO du sommet S au point 0 est la moyenne proportionnelle des abscisses des extrémités de la corde.
906. Du sommet S, on mène deux droites rectangulaires qui viennent
