II

45o« GÉOMiTRIB DAJfS l'eSPACB.

981 . Le rayon du cercle qui touche une hyperbole et ses asymptotes est égal à la portion de la corde focale principale prolongée comprise entre la courbe et sesr asymptotes.

982. MM' étant une corde de Thyperbole et CP le demi-diamètre correspondant, si l'on tire par les points M, P, M', des parallèles MH, PK^ M'H', à Tune des asymptotes jusqu'à la rencontre de Tautre en H, K^ U', on aura

CH.CH'=:Ck\

983. Soient un cercle de diamètre AA' et une corde PQ perpendiculaire à AA'; trouver le lieu des points d'intersection des droites AP et A'Q.

98^i. Si deux hyperboles équilatères égales sont décrites de manière que les axes de Tune soient les asymptotes de l'autre, elles se coupent à angle droit.

985. Quel est le lieu des points qui sont au tiers des arcs de tous les segments de* cercle qu'on peut décrire sur une droite donnée?

986. Si deux tangentes partant d'un même point P coupent Tune des

asymptotes de Thyperbole en R et en S, l'autre asymptote en r et en s^

on a

PR.PS = Pr.P^.

987. MM' étant la double» ordonnée d'une ellipse de grand axe AA', quel est le lieu des points de rencontre des droites AM et A'M'?

988. Si la tangente au point M d'une hyperbole équilatère coupe ses asymptotes en L et en L', et si MG est la normale en M, l'angle LGL' est droit.

989. Soit la corde MM' d'une hyperbole rencontrant ses asymptotes en R et en R', et la tangente RN à la courbe ; si les parallèles MH, NK, M'H', à l'une des asymptotes rencontrent l'autre asymptote aux points H, K, H', on a

MHh-M'H' = 2NK.

990. Si par les points M et M' d'une hyperbole on mène des droites parallèles aux asymptotes, on iorme un parallélogramme dont MM' est une diagonale; démontrer que l'autre diagonale passe par le centre de la courbe.

991 . Quel est le Heu décrit par le milieu d'une droite qui se meut en formant avec deux axes rectangulaires un triangle d'aire constante?

992. Si par le point M d'une hyperbole on mène des parallèles MD et ME à chaque asymptote, jusqu'à la rencontre de l'autre, et si Ton construit une ellipse ayant CD et CE pour demi-diamètres conjugués.

LIVBfi YllI. — LB8 GOU&BBS USDBLLB8. 4^1.

Qi coupant l'ellipse en N, les tangentes aux deux courbles en M et en N sont parallèles.

993. On fait passer un cercle par un point quelconque M d'une hyperbole et les extrémités A et Â' de son axe transverse ; trouver le lieu du point Q où Tordonnée MP prolongée rencontre qe cercle.

994. On donne une série d^cllipses tangentes à une hyperbole équilatère et ayant leurs axes dirigés suivant ses asymptotes ; démontrer que le produit des axes de ces ellipses est constant.

995. Sur deux diamètres conjugués d'une ellipse comme asymptotes on construit deux hyperboles conjuguées Tune à l'autre; démontrer que si Tune de ces hyperboles touche Tellipse, il en est de même de l'autre, et que les diamètres tirés aux points de contact sont conjugués aussi bieti dans Fellipse que dans l'hyperbole.

996. Trouver l'angle des asymptotes de Thyperbole obtenue en coupant un cône de révolution par un plan. — Cas où le plan sécant est parallèle à Taxe du cône.

997. Deux cônes de révolution qui ont même sommet, même génératrice et leurs axes rectangulaires, sont coupés par deux plans menés parallèlement à leurs axes d'un même point de la génératrice commune, suivant des hyperboles conjuguées.

998. Quel est le lieu des foyers de toutes les sections paraboliques d'un cône de révolution donné?

999. Quel est le lieu des foyers de toutes les sections 'elliptiques de même excentricité dans un cône de révolution donné?

iOOO. Quel est le lieu«des extrémités des petits axes de toutes les sections elliptiques parallèles d'un cône de révolution donné?

iOOl . Dans quel cas un plan pcut^il couper un cône de révolution donné suivant une hyperbole équilatère?

1002. Construire une hyperbole, connaissant : i° un foyer ou une directrice, la longueur de l'axe transverse et une asymptote; a* un foyer ou une directrice, une tangente et une asymptote ; 3® deux asymptotes et un point; 4'' trois points et une asymptote.

4003. Trouver le lieu des sommets des cônes de révolution qui passent par une ellipse ou une hyperbole donnée de position et de grandeur.

§ VI. — Propriétés fondamentales de l'hélice.

i004. Par deux points d*une surface cylindrique, on peut faire passer une infinité d'hélices.

1005. Quel est le plus court chemin entre deux points d'une surface cylindrique, mesuré sur cette surface elle-même?

4^2. GÉOHfiTRIB DANS L*BSPAGB.

1006. Deux hélices tracées sur un cylindre de révolution se coupeDt orthogonalement ; on donne le rayon du cylindre et le pas de Tune des hélices, trouver le pas de l'autre.

1007. Des extrémités A et Â' d'un diamètre de la section droite d'un cylindre de révolution , partent deux hélices orthogonales dont le premier point d'interseclion est en M; trouver^ en fonction du pas h de la première hélice et du rayon R du cylindre, l'aire mixtiligne AMA'. — Quel doit être le pas // pour que l'aire AMA' soit maximum? Le rayon du cylindre étant un décimètre, évaluer à un millimètre carré près celle aire maximum.

1008. Étant donnée une hélice tracée sur un cylindre de révolution, une droite glisse sur cette hélice et sur l'axe du cylindre en restant normale à cet axe; quelle est la section de la surface ainsi engendrée : !*• par un cylindre concentrique au premier ; a** par un cylindre de révolution dont une arête est Taxe même du premier cylindre.

1009. Étant donnée une hélice tracée sur un cylindre de révolution , une droite glisse sur cette hélice et sur l'axe du cylindre en faisant un angle constant avec cet axe ; démontrer que la normale à la courbe tracée par cette droite sur un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre, intercepte une longueur constante sur la perpendiculaire élevée par le pied de l'axe dans le plan considéré au rayon vecteur issu du même point.

§ VII. — Appendice,

1010. Démontrer que l'homographie de deux divisions peut s'exprimer par Tune quelconque des formules

am s «' m' . am a' m'

1011. Deux divisions homographiques étant données, on peut toujours prendre à partir d'un point donné de la première deux segments qui soient respectivement égaux à leurs homologues de la seconde; mais l'un avec le même signe, l'autre avec un signe contraire.

1012. Deux droites divisées homographiquement peuvent toujours être placées l'une sur l'autre de manière que les deux divisions soient en involution.

1013. Dans deux divisions homographiques de même base^ le rapport des distances d'un point quelconque de la première division aux deux points doubles est proportionnel au rapport des distances du point homologues de la seconde division aux deux mêmes points doubles.

1014. Quand deux faisceaux homographiques concentriques ont leurs rayons doubles imaginaires, on peut les projeter suivant deux faisceaux

dont les rayons homologues fassent entre eux des angles égaux et de même sens.

1015. Étant donnés dans une involution deux points conjugués, le point central et le milieu de deux autres points conjugués, on demande de déterminer ces derniers points.

1016. Dans deux faisceaux en involution, il existo toujours deux rayons homologues également inclinés sur un rayon donné, et il n'y en a que deux.

1017. Étant donnés deux faisceaux homographiques non concentriques, on peut les couper par une droite suivant deux divisions en involution. Toutes les transversales qui remplissent cette condition passent par un même point.

1018. Dans toute proportion harmonique aha'b\ le conjugué harmonique du milieu de hb' par rapport à a et a' coïncide avec le conjugué harmonique de aa! par rapport à ^ et 6'; et ce point est le point central de rinvolution déterminée par les deux couples (^, â') et [h^ h').

1019. Lorsqu'un point décrit une hyperbole, les droites qui joignent ce point à deux points fixes interceptent sur une asymptote un segment de longueur constante.

lOâO. Quel est le liei^ des points dont le produit des distances à deux droites fixes est constant?

1021. Dans tout triangle circonscrit à une conique les droites qui joignent les sommets aux points de contact des côtés opposés concourent en un même point.

1022. Le sommet d'un angle de grandeur constante décrit une droite fixe, tandis que Fun des côtés passe par un point fixe. Quelle est l'enveloppe de l'autre côté?

1023. Démontrer que lorsque deux triangles sont inscrits à une conique, les six cotés touchent une autre conique.

1024. Deux angles de grandeur constante tournent autour de leurs sommets; deux de leurs côtés se coupent sur une droite fixe : quel est le lieu décrit par l'intersection des deux autres côtés. — Quel est le théorème corrélatif?

1025. Un polygone plan se déforme de telle sorte que ses côtés pivotent autour de points fixes, et que ses sommets moins un glissent sur des droites fixes; quel est le lieu décrit par le dernier sommet? — Quel est le lieu décrit par l'intersection de deux côtés non coniigus quelconques? — Quel est enfin le théorème corrélatif?

1026. Si deux cordes d'une conique se divisent mutuellement en deux parties égales, ces cordes passent par le centre.

1027. Dans Thyperbole équilatère, les droites menées d'un point de la courbe aux extrémités d'un diamètre sont également inclinées sur uee asymptote.

1028. Étant données une conique et deux tangentes parallèles, les droites menées du centre aux points où une troisième tangente rencontre les deux premières sont deux diamètres conjugués.

1029. Une hyperbole qui a pour asymptotes deux diamètres conjugués d'une conique, la coupe sur deux autres diamètres conjugués.

1030. D*un point fixe, on abaisse une perpendiculaire sur chaque diamètre d'une conique, et Ton prend l'intersection de c«tte perpendiculaire et du diamètre conjugué au premier diamètre; quel est le lieu de ce point d'intersection? — Déduire de là que, par un point donné, on peut en général mener quatre normales à une conique.

1031. D'un point fixe, on abaisse une- perpendiculaire sur chaque tangente d'une parabole, et l'on prend Tinterseclion de cette perpendiculaire

• et du diamètre correspondant à la tangente; quel est le lieu de ce point d'intérseclion? — Déduire de là que, par un point donné, on peut en général mener trois normales à une parabole.

1032. Si une droite fixe rencontre une série de coniques ayant même foyer et même directrice, les tangentes à ces coniques aux points où elles rencontrent la droite fixe enveloppent une conique qui a même foyer que les proposées, et qui touche à la fois leur directrice commune et la droite fixe.

1033. Quel est le lieu des centres des coniques circonscrites ou inscrites à un quadrilatère donné?

1034. Traftisformer par la méthode de projection les théorèmes saivants :

i"" Dans le cercle, la tangente est perpendiculaire à l'extrémité du rayon du point de contact;

2** Les tangentes menées par un point extérieur à un système de coniques confocales, font des angles égaux avec les droites qui joignent ce point aux deux foyers;

3** Le lieu des centres d'un cercle qui touche de la même manière deux cercles donnés, est une hyperbole qui a pour foyers les centres des deux cercles donnés.

1035. Étant donnés cinq points d'une hyperbole, construire ses asymptotes.

1036. Étant données cinq tangentes à une conique, construire les deux tangentes qui passent par un point donné.

1037. Construire une conique, connaissant le centre et trois points.

LITRE VIII. LBS COUBBBS USUELLES. 4^5.

1038.. Construire une conique, connaissant un point et les directions de deux couples do diamètres coujugués.

i039. Étant données deux coniques et une droite, construire une troi* sièoie conique tangente à la droite et passant par les quatre points communs aux deux premières.

1040. Construire une conique homolhétique à une conique donnée, et passant par troiâ points donnés ou tangente à trois droites données.

104i . Tout plan mené par deux arêtes d'un cône du second ordre coupe les plans cycliques suivant deux droites qui font respectivement avec ces deux arêtes deux angles égaux. — Quel est le théorème corrélatif?

1042. Deux plans tangents à un cône du second ordre suivant deux arêtes quelconques coupent les deux plans cycliques suivant quatre droites qui sont les génératrices d'un même cône de révolution dont Taxe est perpendiculaire au plan des deux arêtes de contact. — Théorème corrélatifs

1043. Dans tout cône du second ordre, chaque plan tangent coupe les deux plans cycliques suivant deux droites telles, que le produit des tangentes des demi-angles qu'elles font avec l'intersection des deux plans cycliques est constant. — Théorème corrélatif.

1044. Dans tout cône du second ordre, le produit des sinus des angles que chaque arête fait avec les deux plans cycliques est constant. — Théorème corrélatif.

1045. Les projections orthogonales des deux focales d'un cône du second ordre sur les plans tangents au cône, forment un nouveau cône du second ordre ayant un double contact avec le premier et dont les plans cycliques sont normaux aux focales du premier. '— Théorème corrélatif.

1046. Quand deux cônes du second ordre ont même sommet et mêmes plans cycliques, si on leur mène un plan tangent commun, les deux arêtes de contact sont rectangulaires. — Théorème corrélatif.

1047. Autour de deux points fixes pris sur une sphère, on fait tourner les côtés d'un angle sphérique de grandeur variable et tel , que le segment intercepté entre ses côtés sur un arc de grand cercle donné, ait une longueur constante; quel est le lieu du sommet de cet angle?

1048. On donrie sur une sphère deux arcs fixes, et Ton demande le lieu des points de cette sphère dont le produit des distances à ces deux arcs est constant.

1049. Quelle est la courbe sphérique dont chaque point est équidistant d'un point de la sphère et d'un arc de grand cercle de cette sphère?