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QUESTIONS DIVERSES DE GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

1050. Construire un triangle sphérique, connaissant son aire, un côté et le cercle circonscrit.

1051. Construire un triangle sphérique, connaissant son aire, sa base et sa hauteur.

1052. La sphère variable assujettie à couper deux sphères fixes suivant leurs grands cercles, passe par deux points fixes.

1053. La sphère variable assujettie à couper deux sphères fixes sous des angles constants, est coTistacnment tangente à deux sphères fixes.

1054. Si une sphère variable coupe trois sphères fixes sous des angles égaux, mais indéterminés, son centre ne sort pas d'un certain plan.

1055. Si une sphère variable coupe quatre sphères données sous des angles égaux, mais variables simultanément, son centre décrit une droite.

1056. Mener une sphère qui coupe quatre sphères données suivant leurs grands cercles.

1057. Mener une sphère qui coupe quatre sphères données sous des angles donnés.

1058. Mener une sphère qui en coupe cinq autres sous des angles égaux.

1059. En joignant un point de Tespace aux sommets d'un tétraèdre, on obtient une figure dont les plans des faces opposées se coupent deux à deux suivant trois droites comprises dans un même plan ; la diagonale issue d'un sommet divisée par la longueur de son prolongement jusqu'à ce plan, est égale à la somme des trois côtés adjacents à ce sommet, divisés respectivement par les longueurs de leurs prolongements jusqu'au même plan.

lOfiO. Une série d'ellipses ont leurs diamètres conjugués égaux de même longueur; Tun de ces diamètres est fixe et commun à toutes les ellipses, l'autre varie quand on passe d'une ellipse à la suivante. Si Ton prend un point fixe sur le diamètre fixe prolongé et si Ton mène de ce point des tangentes aux ellipses considérées, quel est le lieu des points de contact de toutes ces tangentes?

1061. Si l'on décrit une ellipse sur le grand côté d'un rectangle comme grand axe, de manière qu'elle passe par le point d'intersection des diagonales, et si l'on joint un point de l'ellipse extérieur à ce rec4angte

LITRE Vlll. — LES COURBES USUELLES. ^S^ •

aux exlrémités du côté opposé au grand axe, les droites ainsi déterminées divisent le grand axe en segments qui sont en progression géométrique.

1062. Le produit des segments déterminés par son point de contact sur une tangente à Tellipse limitée à ses points de^rencontre avec les axeSf est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente.

1063. Quel est le lieu du second foyer des ellipses qui ont un foyer commun et deux tangentes communes?

1064. Quel est le lieu des milieux de toutes les cordes d^une ellipse qui vont converger en un point fixe?

1065. Si deux diamètres conjugués d'une ellipse sont en même temps les asymptotes d'une hyperbole, les points de contact des tangentes communes à l'ellipse et à l'hyperbole sont sur une ellipse semblable à la proposée.

1066. La base AB du trianjg;le ABC reste fixe, tandis que le sommet C décrit la moitié d'une hyperbole équilatère passant par les points A et B; P et Q étant les points où AC et BC rencontrent le cercle décrit sur AB comme diamètre, trouver le lieu des points d'intersection de AQ et de BP.

1067. Quel est le lieu du second foyer des ellipses qui ont un foyer commun et qui passent par deux points donnés?

1068. Quel est le lieu des centres des hyperboles équilatères qui passent par trois points donnés?

1069. Si l'on joint aux deux foyers de l'hyperbole les points de rencontre d'une tangente à la courbe avec les asymptotes, on obtient un quadrilatère inscriptible.

1070. Si l'on prend sur la corde focale principale d'une parabole deux points également distants du foyer,, le trapèze formé en abaissant de ces points des perpendiculaires sur une tangente quelconque à la courbe a une aire constante.

1071. Les produits des distances du foyer d'une parabole aux sommets opposés d'un quadrilatère circonscrit à la courbe, sont égaux. -

1072. Étant données deux tangenles à la parabole, si on leur mène des parallèles par un point quelconque de leur corde de contact, la diagonale du parallélogramme ainsi formé, qui est opposée au point choisi sur la corde de contact, est tangente à la courbe.

1073. En un point P de la parabole, la corde du cercle de courbure, qui est menée parallèlement à Taxe de la courbe, est égale à quatre fois le rayon vecteur du point P.