GfiOHÉTKlB DANS l'bSPàCB

1074. La corde PH du cercle de courbure au point P de Tellipse ou de l'hyperbole, qui est menée par le centre C de la courbe, satisfait à la relation PH.CP = aCD*, CD étant le conjugué du diamètre CP.

1075. Étant donnés deux triangles, projeter le premier sur un plan de telle sorte que sa projection soit semblable au second triangle.

i076. Couper un cône de révolution donné suivant une ellipse d'excentricité donnée.

1077. Deux cônes de révolution qui se coupent ont même axe, ei Tangle au sommet du cône intérieur est de 6o degrés; démontrer que le sommet de ce cône est un foyer commun de toutes les sections déterminées sur le cône extérieur par les plans tangents au cône intérieur.

1078. La perspective d'un cercle sur un plan quelconque est une section conique.

1079. On appelle homoc/cliques deux cônes qui ont même sommet el mêmes plans cycliques. Démontrer que, lorsqu'un plan mené par le sommet commun de deux cônes homocycliques coupe ces cônes suivant quatre arêtes, les deux arêtes de l'un font respectivement deux angles égaux avec les deux arêtes de l'autre. — Qu'arrive- 1- il en particulier lorsque le plan considéré coupe l'un des cônes et touche l'autre?

1080. Quand un plan touche deux cônes homocycliques, les deux arêtes de conctact sont rectangulaires.

1081. SA et SB étant deux arêtes rectangulaires prises sur deux cônes homocycliques, le plan ASB coupe les deux cônes suivant deux autres arêtes SA' et SB' qui sont encore perpendiculaires l'une à l'autre; les quatre droites suivant lesquelles se coupent les plans tangents au premier cône suivant SA et SA', et les plans tangents au second cône suivant SB et SB', appartiennent à un troisième cône homocyclique avec les deux premiers ; ce troisième cône reste le même, quelles que soient les deux arêtes rectangulaires primitives SA et SB.

i082. Quand deux cônes sont homocycliques, deux plans tangents au premier cône coupent l'autre cône suivant quatre arêtes appartenant à un cône de révolution dont Taxe e^t normal aux arêtes de contact des deux plans tangents.

1083. Étant donnés un cône à base circulaire et deux plans fixes tangents à ce cône, si un autre plan tangent roule sur le cône, ses intersections avec les deux plans fixes sont telles, que les plans menés par chacune d'elles et une ligne focale font un angle constant.

1084. L'angle de deux plans tangents quelconques 4 un cône à base

LITBB TIII. -- LIS COUBBBS U0UBLLBS. 4^9.

circulaire, et Tangle des deux plans déterminés par leur intersection et par chacune des lignes focales, ont le même plan bissecteur.

1085. Démontrer que le rapport anharmonique du faisceau formé par les deux côtés d'un angle a et par les deux droites qui Joignent son sommet

aux deux points circulaires à Finfîni, est égal à c^*' "•^»^.

1086. Un polygone plan se^ déforme de telle sorte que ses sommets » moins un, glissent sur des droites 6xes, tous ses côtés étant vus d'autant de points fixes sous des angles donnés ; trouver le lieu du dernier sommet. — Quel est le théorème corrélatif?

1087. Sur les trois diagonales d'un quadrilatère complet, on prend trois couples de points qui divisent harmoniquement ce^ trois droites ; démontrer que les six points considérés sont sur une -conique. — Quel est le théorème corrélatif?

1088. On donne une conique et un triangle situé dans son plan ; démontrer : i*" que les droites qui joignent les sommets du triangle aux pôles des côtés opposés par rapport à la conique concourent en un même point ; a** que les côtés rencontrent les polaires des sommets opposés en trois points en ligne droite.

1089. Si autour d'un point fixe on fait tourner une sécante qui rencontre une conique aux points a et a', la somme algébrique des inverses des distances des points a Qi a' k la polaire du point fixe est constante.

1090. Construire la conique déterminée par cinq points, dont quatre sont imaginaires.

1091 . Construire la conique déterminée par cinq tangentes, dont quatre •sont imaginaires.

1092. Projeter une conique suivant une hyperbole équilatère.

1093. La polaire réciproque d'une parabole par rapport à un point de la directrice, est une hyperbole équilatère.

1094. Les hauteurs d'un triangle circonscrit à la parabole se coupent sur la directrice.

1095. Les hauteurs d'un triangle inscrit dans une hyperbole équilatère se coupent sur la courbe.

1096. Inscrire dans une conique un polygone dont les côtés passent par autant de points fixes.

1097. Construire une conique tangente à trois droites et ayant un double contact avec une conique donnée.

46o. GÉOMÉTRIE DANS L*B8PAGE.

1098. Trouver le lieu des milieux des cordes d'une conique issues d'un point fixe. — Généraliser par projection.

4009. Trouver l'enveloppe des cordes d'une conique qui ont leurs milieux sur une droite donnée. — Généraliser par projection.

iiOO. Étant donnée une série de coniques circonscrites à un même quadrilatère, démontrer : i° que les polaires^d'un point quelconque p par rapport à ces coniques passent toutes par un même point q\ il" que si p décrit une droite L, q décrit une coniquet 3° que cette conique est le lieu des pôles de la droite L par rapport aux proposées, et qu'elle passe par le point de rencontre des diagonales et par les points de concours des côtés opposés du quadrilatère. — Examiner le cas où la droite L est à l'infini. — Énoncer et démontrer directement les théorèmes corrélatifs.

H04. Si, sur les rayons menés d'une origine fixe 0 aux divers points d'un plan P, on porte des longueurs proportionnelles aux valeurs inverses de ces rayons, les plans conduits perpendiculairement à ces droites par leurs extrémités passeront tous par un même point p. Lorsque, l'origine O restant fixe, le plan P se déplace en passant sans cesse par un même point, le point p ne sort pas d'un certain plan.

il 02. Une droite glisse sur trois droites fixes prises à volonté dans Tespace. — Quel est le lieu décrit par la trace de cette droite sur un plan fixe quelconque?

1103. Étant donnés trois points ou trois arcs tangents et un arc cyclique d'une conique sphérique, déterminer le pôle de cet arc.

ii04. Étant donnés trois points et un arc cyclique d'un conique sphérique, déterminer le second arc cyclique de cette courbe.

1105. Étant donnés trois arcs tangents et un foyer d*une conique sphé-. rique, déterminer le second foyer de cette courbe

1106. Quelle est la surface polaire d'une conique par rapport à une sphère? — Examiner le cas particulier où la conique est un cercle. — (On nomme surface polaire d'une ligne l'enveloppe des plans polaires de ses divers points. )

il07. Si deux cônes du second ordre ont une ligne focale commune, ils se coupent suivant deux courbes planes.

Ii08. Quelle est la surface polaire d'une sphère par rapport à une sphère?

1109. Une conique tourne autour de son axe focal. Quelle est la secti«in de la surface de révolution ainsi engendrée par un plan passant par un foyer de la conique donnée ?

LIVKE Vin. — LES COURBES USUELLES. 4^1 .

iliO. Quelle est la projection d'une section plane d'une surface de révolution du second ordre, sur un plan perpendiculaire au rayon vecteur mené d'un foyer de la surface à Textrémité du diamètre qui passe par le centre de la section?

iiii. Circonscrire un tétraèdre à une surface de révolution du second ordre, dont un foyer est donné.

il 42. Deux surfaces de révolution du second ordre, qui ont un foyer commun, se coupent suivant deux courbes planes; les plans de ces courbes et les deux plans directeurs forment un faisceau harmonique.

1113. D'un point de l'espace on peut généralement mener six normales à une surface du second ordre; ces six droites sont sur un cône du second degré, qui passe par le centre de la surface et contient les trois axes principaux du cône circonscrit à la surface, qui a pour sommet le point donné.