En pratique, lorsqu'on détermine une droite par deux

8o GÉOMÉTRIE PLANE.

points, il convienl que ces deux points ne soient pas trop voisins Tun de Tautre; sans cela, la moindre erreur sur la position de Tun d'eux entraînerait une erreur notable sur la direction de la droite.

De même, quand un point est déterminé par la rencontre de deux droites, il faut que ces droites ne se coupent pas sous un angle trop petit; sans cela l'épaisseur inévitable des deux traits laisserait dans Tineertitude sur la véritable position du point de rencontre.

THÉORÈME

IW. Trouver la plus grande commune mesure de deux lignes droites.

Soient A et B deux droites commensurables entre elles (123), B étant la plus petite. La recherche de leur plus grande commune mesure repose sur les deux principes suivants :

1" Si B est une partie aliquote de Ay B est évidemment Ut plus grande commune mesure de X et deB;

2" Si A contient m fois B, plus un reste R moindre que B, la plus grande commune mesure de A et de B est la même que celle de B et de R. On a, en effel,

A=rmB-hR;

or, toute commune mesure de A et de B étant une partie aliquote de B l'est aussi de mB, et, par suite, de A — mB ou de R. Inversement, toute commune mesure de B et de R éiani une partie aliquote de B l'est aussi de mB, et, par suite, de mB -hR ou de A. Donc les communes mesures de A et de B sont les mêmes que celles de B et de R, et, en particulier, la plus grande commune mesure est la même de part el d'autre.

D'après cela, on portera B sur A autant de fois que possible ; s'il n'y a pas de reste, B sera la plus grande commune mesure demandée; s'il y a un reste R, on sera ramené à chercher la pjus grande commune mesure de B et de R. On portera donc R sur B autant de fois que possible ; s'il n'y a pas de reste, R sera la plus grande commune mesure demandée; s'il y a un reste R', on sera ramené à chercher la plus grande commune mesure de R et de R'.

LIYRB II. LÀ GIHCONFÉBENCE DE CEBCLE. 8l

Il esl aisé de prouver qu'en continuant de la sorte on arrivera à un reste qui sera une partie aliquote du précédenl. En effet, dans toute division, le dividende est au moins égal à la somme du diviseur et du reste; le reste est d'ailleurs moindre que le diviseur; donc le reste est inférieur à la moitié du dividende. On voit par là que, dans la recherche de la plus grande commune mesure de A et de B, le premier reste sera

inférieur à —5 le troisième reste sera moindre que la moitié du

premier, et, par suite, inférieur a -t-; le cinquième reste sera

moindre que la moitié du troisième, et, par suite, inférieur à ^5 et ainsi de suite. L'opération ne pourra donc pas se prolonger indéfiniment, car on tomberait sur un reste moindre que la plus grande commune mesure supposée; ce qui est absurde, puisque, d'après la théorie précédente, la plus grande commune mesure doit diviser exactement les restes successifs. On arrivera donc à un reste qui sera une partie aliquote du précédenl, et ce reste sera la plus grande commune mesure demandée.

i48. Réciproquement, si, en appliquant le procédé qu'on vient d'indiquer à deux droites données, on arrive à un reste qui soit contenu un nombre exact de fois dans celui qui le précède, les deux droites considérées seront commensurables entre elles, et ce reste sera alors leur plus grande commune mesure.

Ainsi, supposons qu'on ait trouvé successivement

A = B-hR, B = 5R4-R', R=:2R'-^R^ R'=3R^

on aura

et le rapport des deux droites A et B sera représenté par io

nombre fractionnaire ^. D'ailleurs, R'^ étant la plus grande 60 •

commune mesure de R' et de R^ sera, d'après ce qui précède,

la plus grande commune mesure de A et de B.

SCOUB.

i49. II résulte de là que le procédé précédent, appliqué à deux droites incommetisuraJ^es etitre elles, conduira à une série d'opérations înteriminable.

Cette conclusion, absolument rigoureuse en théorie, ne se vérifie pas en pratiqua; car les restes cessent d'être appréciables au compas. Mais, s'il est impossible de constater de cette manière, ou plus généralement au moyen d'une opération mécanique quelconque, l'incommensurabilité de deux droites, on peut parfois, lorsque les droites résultent d'une construction bien définie, démontrer géométriquement leur incommensurabilité en s'appuyant sur la théorie qui précède et en cherchant la loi des restes successifs.

Nous allons, comme exemple, démontrer ainsi que la diagonale ÂC et le côté AB d'un carré ABCD sont deux lignes incommensurables entre elles.

Fig. 97-'

B F Te

Le côté AB (/g. 97) étant moindre que la diagonale AC et plus grand que la moitié AO de cette diagonale, on voit d'abord que, si l'on prend sur la diagonale AC la longueur AE égale à AB, le reste EC sera moindre que AB.

Comparons maintenant ce reste EC au côté AB ou à son égal BC. Si Ton mèneEF parallèle à BD, le triangle FEC, rectangle en E, sera isocèle, puisque l'angle EFC est égal à son correspondant OBC, et, par suite, à ECF. Donc, dans ce triangle comme dans le triangle analogue ABC, si l'on prend FG égale à EC, le reste GG sera moindre que EC. D'ailleurs, les triangles rectangles ABF, AEF, ayant l'hypoténuse commune et un côté égal, sont égaux, et, par suite, BF est égal à FE ou à EC ou à FG. Donc enfiu ^ côté BC contient deux fois EC, plus un reste GC moindre que EC.

Ce dernier résultat, énoncé d'une manière générale, prouve que dans tout triangle rectangle et isocèle le côté contient deux fois la différence entre l'hypoténuse et le côté, plus un reste moindre que cette différence. Donc, à son touf, le côté EC contiendra deux fois (îC, plus un nouveau reste moindre que GC, et ainsi de suite.

On voit par là que si l'on applique aux droites AC et AB la règle près-

LITRB II. — LÀ CIRCONPfiREIfCE DE CERCLE. 83

crite au n"* 147, chaque reste contiendra deux fois le précédent, plus un nouveau reste moindre que celui-ci , de sorte que l'opération n'aura pas de fin. Les deux droites considérées sont donc incommensurables entre elles.

PROBLÈME

150. Par un point B d'une droite BC,* mener une seconde droite qui fasse avec la première un angle égal à un angle donné [fig.€fi).

Fig. 98.

Du point A comme cenire, avec une ouverture de compas arbitraire, mais assez grande, décrivez un arc de cercle qui coupe en D et E les côtés de Tangle donne ; avec la même ouverture, et du point B comme centre, décrivez un second arc de cercle GF, qui coupe en F la droite BC. Prenez avec le compas la longueur de la corde DE (il est inutile pour cela de tracer celte corde), et du point F comme cenire, avec celte ouverture, décrivez un arc de cercle qui coupe en H l'arc GF; la droite BU sera la droite demandée.

En effet, les arcs HF et DE ayant des rayons égaux et des cordes égales sont égaux (100); par suite, les angles au centre HBF, DAE, qui correspondent à ces arcs, sont aussi égaux (136). ,

151. On divise la circonférence en 36o parties égales qu'on nomme degrés, le degré en 60 parties égales appelées minutes^ et la minute en 60 parties égales appelées secondes. Wdi^vhs cela, la circonférence contient 36o. 60 =: 21600 minutes, ou 21600.60=11296000 secondes; la demi- circonférence contient 180 degrés, ou 10800 minutes, ou 648000 secondes; enfin le quadrant vaut 90 degrés, ou 54oo minutes, ou 824000 secondes.

On évalue un arc quelconque en degrés, minutes et secondes de la circonférence. Ainsi Ton dit : un arc de 36 degrés i5 minutes 21 secondes, que Ton écrit: arc de 36°i5'2i''.

Deux arcs AB et A'B' {Jig. 99) décrits entre les côtés d'un

même angle XOY, de son sommet comme centre, coniienneni le même nombre de degrés, minutes et secondes. En effet, le

Fig. 99. Fîg. 100.

, '0 .rjv i I if / \\

rapport de l'arc AB au quadrant AC est le même que le rapport de l'arc A'B' au quadrant A'C, puisque chacun de ses rapports est égal à celui de Tangle XOY à l'angle droit XOZ (136). Or, comme le quadrant AC vaut 90 degrés de la circonférence OA, et que le quadrant A'C vaut 90 degrés de la circonférence OA', les arcs AB et A'B' vaudront le même nonibre de degrés, minutes et secondes de leurs circonférences respectives.

D'après cela, on appelle angle de 36°i5'2i'' l'angle qui intercepte entre ses côtés, sur toute circonférence décrite de son sommet comme centre, un arc de 36"i5'2i*',

Connaissant le nombre de degrés, minutes et secondes d'un angle, on obtient son rapport à l'angle droit en prenant le rapport de ce nombre de degrés, minutes et secondes à 90 degrés ; il faut avoir soin, bien entendu, d'évaluer les deux angles en unités de même espèce, soit en degrés, soit en minutes, soit en secondes. Ainsi, comme 36**i5'2i" valent i3o52i secondes, et que 90 degrés renferment 324000 secondes, le rapport de Tangle de 36**i5'2i"à l'angle droit est exprimé par la fraction i3o52i 4^5^7

152. Pour évaluer le nombre de degrés d'un angle, ou pour tracer un angle ayant un nombre de degrés donné, on emploie un instrument appelé rapporteur. C'est un demi-cercle en corne ou en cuivre dont le bord circulaire ou limbe est divisé en 180 parties égales ou degrés; les rapporteurs qui ont un décimètre de rayon sont même divisés en demi-degrés. Le centre est marqué par un petit trou ou par une petite écbancrure.

LITRE II. LA CIRCONFfiRENCE DE CERCLE. 85

Pour mesurer un angle DOG (fig. loo), on place rinstrumeni de manière que son centre coïncide avec le sommet de l'angle, el que le diamètre AB, qui va de zéro à i8o degrés, s'applique sur l'un des côtés OG. On lit alors le nombre de degrés de l'angle au point où le limbe est traversé par le second côté OD.

Pour mener au point 0 d'une droite OG une seconde droite OD, formant avec la première un angle donné, de 49 degrés par exemple, on place l'instrument de manière que son centre soit en 0, et que son diamètre AB coïncide avec OG; puis on marque le point C du papier sur lequel tombe la division 49 du limbe; et, après avoir enlevé le rapporteur, on tire la droite OC.

PROBLÈME