Connaissant deux angles ^eiè d'un triangle, construire

le troisième y.

Fîg. 101.

Tracez une droite indéfinie AB (/Ig. loi); par l'un de ses points O, menez une droite OC qui forme avec OA un angle COA égal à a; menez par le même point 0 une autre droite OD qui fasse avec OB un angle DOB égal à 6. L'angle COD sera l'angle cherché ; car la somme des trois angles formés autour du point 0 et au-dessus de AB équivaut à deux angles droits (20, 75).

15i. Nous allons apprendre à construire un triangle, connaissant : 1® un côté et deux angles; 2*^ deux côtés et l'angle compris; 3® deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux ; 4" les trois côtés. Dans ces quatre problèmes, nous désignerons les trois côtés par a, b, c, et les angles respectivement opposés par A, B, C; ainsi l'angle A sera opposé au côté a, l'angle B au côté 6, l'angle C au côté c.

PROBLÈME

155. Construire un triangle, connaissant un côté a et deux angles.

On peut donner les deux angles'B et C adjacents au côté a, ou bien Tangle opposé A et Tun des angles adjacents; on ramène ce dernier cas au premier en commençant par chercher !e troisième angle (153).

Supposons donc connus le côté a et les deux angles adjacents B et C.

Après avoir tracé une droite BC [Jig. loi) égale à a, menez au point B une droite BA formant avec BC et au-dessus de cette ligne un angle ABC égal à Tangle donné B; menez de même au point C une droite CA formant avec CB, et au-dessus de celle ligne, un arigle ACB égal à Tangle donné C. Le point de rencontre A de ces deux droites sera le troisième sommet du triangle cherché.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que les deux droites BA, CA, se coupent, c'est-à-dire (66) que la somme des deux angles B et C soit moindre que deux angles droits.

Fig. 102. Fjg. io3.

'a fë"

PROBLEME

156. Construire un triangle, connaissant deux côtés a et b et V angle compris C.

Tracez une droite CB [Jig. io3) égale à a; au point C, menez une droite CA formant avec la première un angle ACB égal à Fangle donné C; puis prenez sur cette droite, à partir du point C, une longueur CA égale à 6; enfin, lirez AB, et vous aurez le triangle cherché,

PROBLÈME

157. Construire un triangle, connaissant deux côtés a et b et V angle B opposé à l'un d'eux.

LIYRB ir. — LA CIBGONFÉRBNCB BE CfUCLB. 87

Tracez une droîle BC {fig. io4) égale à a, et aupoint B menez une droite BA formant avec la première un angle ABC égal

Fig. 104.

à Tangle donné B; puis, du point C comme centre, avec une ouverture de compas égale à 6, décrives^ un «r« de cercle. Si A est un point d'intersection du côté BA et de cet arc de cercle, il suffira de tirer AC pour avoir uo triangle ABC satisfaisant aux conditions exigées.

i58. Discutons maintenant ce problème, c'est-à-dire cherchons les conditions que doivent remplir les données pour que le problème soit possible, et, dans ce cas^ les diverses solutions qui peuvent exister.

I** L'angle B étant aigu [fig, i o4 ), pour que le problèrt e soit possible, il faut que l'arc de cercle rencontre le côté BA, c'està-dire que le côté b soit au moins égal à la perpendiculaire CD abaissée du point C sur BA.

Si le côté b est égal à cette perpendiculaire CD, le cercle louche BA en D, et il n'y a qu'une solution : c'est le triangle rectangle BCD.

Si le côté b est compris entre la longueur de la perpendiculaire CD et celle du côté a, le cercle coupe la droite BA en deux points A et A' situés au-dessus de B, et de part et d'autre de D; il y a donc deux solutions distincîe»« ceaotu les triangles ABC, A' BC.

Enfin, si le côté b est plus grand que â, le point A' passe au-dessous de B, et le triangle correspondaxil iloii être rejeté puisque son angle en B n'est plus l'angle donnée imis son supplément; il n'y a donc qu'une solution : c'esrle •rfeft^gle ABC.

2* Vangle B étant obtus {fig. io5), la perpendiculaire CD ne tombe plus dans l'angle B, mais dans son supplément (43); Cl, pour que le problème soit possible, c'est-à-dire pour que Varc de cercle coupe la droite BA au-dess\is de B, 11 fMt que

88 GfiOHÈTRlE PLANE.

le côlé b soil plus grand que a : ce que Ton pouvait prévoir, car dans tout triangle au plus grand angle doit être opposé le

Fig. io5.

plus grand côté. D*ailleurs, lorsque cette condition est remplie, les deux points d'intersection A et A' sont de part et d'autre de B; le triangle A'BC doit être rejeté, car son angle en B est le supplément de Tangle donné, et il n'y a qu'une solution : c'est le triangle ABC.

3® L'angle B étant droit, le problème est impossible si b est inférieur ou égal à a; il admet une solution unique si b

est supérieur à a.

PROBLÈME

159, Construire un triangle, connaissant les trois côtés a, b, c.

Tracez {Jlg. io6) une droite BC égale à a, c'est-à-dire au plus grand des côtés donnés. Du point G comme centre, avec une

Fig. io6.

ouverture de compas égale à b, décrivez, au-dessus de BC, un arc de cercle; du point B comme centre, avec une ouverture de compas égale à c, décrivez au-dessus de BC un autre arc de cercle. En joignant aux points B et C le point d'intersection A de ces deux arcs, vous aurez le triangle demandé ABC.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que les deux arcs de cercle se coupent, c'est-à-dire (122) que le plus grand côté a, qui est la distance des centres, soit moin^

LITRE II. Là circonférence DR CERCLE. 89

dre que la somme et plus grand que la diffécence des deux autres côtés b et cqui sont les rayons. Ce résultat est conforme au scoiie du n** 30.