LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

Le centre 0 devant se trouver ( 103) à Tintersection des perpendiculaires élevées, Tune sur le milieu de AB, Tautre sur le milieu de BC, il suffira, pour avoir ce centre, de répéter deux fois la construction du n"* 162. Il est même inutile de tracer les droites AB et BC. Le centre 0 étant connu, on décrira la circonférence demandée à Taide d'une ouverture de compas égale à Tune des trois droites égaies OA, OB, OC.

Pour trouver le centre (Vune circonférence déjà tracée y on prend à volonté trois points A, B, C, sur cette circonférence, et Ton applique la solution qui précède.

466. Dans la pratique, la circonférence qui doit passer par les trois points donnés A, B, G, a parfois un rayon trop grand pour qu'on puisse la Iracer avec un compas ordinaire et même avec un compas à verge. On obtient alors cette circonférence par points. Voici le procédé le plus usité [fig. 1 14).

Des points A et C comme centres, avec le même rayon, on décrit deux circonférences sur lesquelles on porte, à partir des points P et Q , des

Fig II 4.

divisions égales P«, ab,bc,...^ ?a\ a'b', 6V,... ; Qa, ap, pv,...,

Qa', a'p', p'v', On mène deux rayons correspondants A«, Ca, l'un

au-dessus de AB, l'autre au-dessous de CE, et leur intersection M est un point du cercle cherché. En effet, les deux triangles AMI, BIC, ont deux angles égaux, savoir : les angles en I comme opposés par le sommet, et Tangle MAP égal à BCI comme interceptant des arcs égaux sur des circonférences égales; donc l'angle AMC est égal à l'angle ABC, et par suite (143) le point M est sur la circonférence déterminée par les trois points A, B, C. De môme, en menant deux rayons tels que kb' et Cp', le premier audessous de AB, et l'autre au-dessus de CB, on obtient encore un point N de la circonférence, car l'angle BAN étant égal au supplément BCp'de l'angle BCN, le quadrilatère ABCN est inscriptible (144).

PROBLÈME

167. Mener par un point donné G une perpendiculaire sur une droite donnée AB.

Il y a deux cas à distinguer :

I** Le point donné C est sur la droite AB {fig. 1 15). En prenant de part et d'autre de C deux longueurs égales CA et CB, sur la droite donnée, le problème est ramené à celui du n° 162. Seulement, ici, la droite AB est tracée, et Ton connaît son milieu, de sorte qu'il suffit de trouver un seul point D de la perpendiculaire. De là cette construction :

Avec une ouverture de compas arbitraire, mais assez grande, prenez sur la droite donnée, et à partir du point C, deux distances égales CA et CB. Ouvrez davantage le compas, et des points A et B comme centres décrivez successivement, avec cette nouvelle ouverture, deux petits arcs de cercle au-dessus de AB. En joignant au point C le point D d'intersection de ces arcs, vous aurez la perpendiculaire cherchée.

Fig

ii5.

Fig.

ii6.

tP Le point C est hors de la droite AB (/^. ii6). En traçant, du point C comme centre, un arc de cercle qui coupe la droite AB en deux points A et B, on est ramené au problème du n« 162, avec cette différence qu'on connaît déjà un point C de la perpendiculaire et qu'il suffit d'en trouver un second. De là la construction suivante :

Du point C comme centre, avec un rayon assez grand, décrivez un arc de cercle qui coupe la droite donnée en deux points A et B. De ces points comme centres, avec une ouverture de compas sensiblement plus grande que la moitié de AB, décrivez successivement deux petits arcs de cercle au-dessous

UTRB II. — LA GIRGOIlFfiRBNCB DE CERCLE. gS

de AB. En joignant au point C le point E où ces arcs se coupent, vous aurez la perpendiculaire demandée.

168. En bonne construction, on ne doit jamais se seryW directement de réquerre pour le dessin des perpendiculaires. Toutefois, il est un cas très-fréquent dans la pratique où remploi, en quelque sorte indirect, de cet instrument fournit d'excellents résultats; c'est celui où Ton doit mener sur une droite des perpendiculaires par plusieurs points. On commence par tracer avec soin Tune de ces perpendiculaires à Taide du compas, puis on lui mène à Téquerre des parallèles par les autres points. On opère de même lorsqu'on veut élever une perpendiculaire à l* extrémité d'une droite qu'on ne peut pas prolonger; on trace à Téqu erre, parce point extrême, tine parallèle à une perpendiculaire que Ton a préalablement menée sur cette droite en un autre point à l'aide de la règle et du compas. *