VI. - PROBLÈMES SUR LES TANGENTES

PROBLÈME

169. Mener par un point donné A une tangente à un cercle donné 0.

Il faut distinguer deux cas :

I* Le point A {Jig'ii']) est sur la circonférence. Il suffit

Fig. 117. Fig. 118.

alors (107) d'élever par le point A une perpendiculaire Aï sur le rayon OA.

2*» Le point A est hors du cercle (Jig, 118). Supposons le problème résolu; soient AB une tangente menée par A au cercle G, et B son point de contact. La tangente étant perpendiculaire à l'extrémité du rayon, du point de contact B on voit la droite AO sous un angle droit OBA. Donc (143) le

96 GÉOMÉTBTE PLANE.

point B est situé sur la circonférence décrite sur AO comme diamètre ; ce point étant d'ailleurs sur la circonférence donnée 0, il est à l'intersection de ces deux circonférences, et Ton voit dès lors qu'il y a deux solutions.

Ainsi, on décrira sur AO comme diamètre une circonférence, et en joignant au point A les points B et B' où cette circonférence renconire la proposée, on aura les deux tangentes BA et B'A.

Corollaire.

170. Les deux tangentes AB et AB' que l'on peut mener à un cercle 0 par un point extérieur A sont égales entre elles, et la droite qui joint ce point extérieur au centre du cercle divise en deux parties égales V angle BAB' des deux tangentes, ainsi que V angle BOB' des deux rayons OB et OB' qui aboutissent aux points de contact.

En effet, les deux triangles rectangles OBA, OB' A, sont égaux comme ayant l'hypoténuse AO commune et les côtés de l'angle droit OB et OB' égaux entre eux comme rayons du cercle donné. On a donc

AB = AB', angle BAO = angle B'AO, angle BOA = angle B'OA.

SCOLIE

171. Pour mènera un cercle une tangente parallèle à une droite donnée, on mène le diamètre perpendiculaire à la droite donnée, et les extrémités de ce diamètre sont les points de contact des deux tangentes qui satisfont à la question.

PROBLÈME