LIVRE II. — LA GIRCONFÉRSNCE DE CERCLE

circonférence auxiliaire; B étant le point de contact obtenu, tirez OBA, menez O'A' parallèle à OA ; en joignant les points A et A', vous aurez la tangente cherchée.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffît que le point 0' ne soit pas à l'intérieur du cercle auxiliaire.

On doit donc avoir

00'>0B, c'est-à-dire 00'>OA~0'A';

ce qui revient à dire (122) que les deux cercles proposés 0 et 0' ne doivent pas être intérieurs Tun à Tautre.

Fig. 122.

Si les deux cercles 0 et 0' sont extérieurs, tangents extérieurement ou sécants, on a 00'>0A — O'A'; le point 0 est extérieur au cercle auxiliaire, et Ton peut par ce point mener deux tangentes à ce cercle; donc les deux cercles donnés ont, 'dans chacun de ces cas, deux tangentes communes extérieures.

Si lés deux cercles sont tangents intérieurement, on a 00' = OA — O'A' ; le point 0' est sur la circonférence auxiliaire; on ne peut donc mener par ce point qu'une tangente à ce cercle, et par suite les deux cercles 0 et 0' ont une seule tangente commune extérieure.

a® Soit EE' une tangente commune intérieure, c'est-à-dire qui laisse les deux cercles 0 et 0' de côtés différents (fig, i23). En imaginant comme ci-dessus une parallèle O'F à EE', on verra que cette parallèle est tangente à un cercle concentrique au cercle 0 et décrit avec un rayon OF ^l à la somme OE -f- 0' E' des rayons des cercles donnés ; d'où l'on déduira la construction suivante : Décrivez du contre 0 de l'un des cercles une circonférence, avec un rayon égal à la somme des rayons des cercles proposés, et du point 0' menez une tangente à ce cercle auxiliaire; F étant le point de contact, tirez OEF, menez O'E' parallèle à OF, et en joignant les points E et E' vous aurez la tangente demandée.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le point 0' ne soit pas à l'intérieur du cercle auxiliaire ; on doit donc avoir

00'^ OF ou 00' ^OE 4- O'E',

lOO GÉOMÉTRIE PLANE.

ce qui revient à dire (122) que les deux cercles proposés 0 et 0' doivent être extérieurs l'un à l'autre ou tangents extérieurement.

Dans le premier cas, on à 00'> OE -f-O'E'; le point 0' est extérieur au cercle auxiliaire; on peut donc mener par ce point deux tangentes à ce cercle, et les deux cercles 0 et 0' ont deux tangentes communes intérieures. Dans le second cas, on a 00'=OE-|-0'E'; le point 0' est sur la circonférence auxiliaire; on ne peut donc mener par ce point qu'une tangente à ce cercle, et par suite les cercles proposés 0 et 0' ont une seule tangente commune intérieure.

176 En résumé :

Deux cercles extérieurs {Jrg. 124) ont quatre tangentes communes, deux extérieures, deux intérieures.

Fig. 12I

Deux cercles tangents extérieurement [fig. iiS) ont trois langentes communes^ deux extérieures, une intérieure.

Fîg. laS. Fig. 126.

Deux cercles sécants [fig, riG) ont deux tangentes communes qui sont extérieures.

Deux cercles tangents intérieurement (fig. 127) ont une seule tangente commune, qui est extérieure.