VIL — APPENDICE

477. La rédaction des trois paragraphes précédents offre des différences essentielles.

Les problèmes résolus dans le § IV sont très-simples; leur solution, en quelque sorte intuitive, n'est au fond que la mise en œuvre d'un théorème connu. Aussi nous sommes-nous bornés à énoncer d'abord la solution et à la démontrer ensuite brièvement, sans expliquer comment on y était conduit.

Dans le § VI, au contraire, les problèmes sont plus compliqués ; pour apercevoir la solution, l'esprit doit faire quelques efforts auxquels nous avons voulu initier le lecteur. A cet effet, nous avons supposé le problème résolu, la figure construite, et nous avons montré comment, en examinant avec attention sur cetle figure la manière dont les inconnues se rattachaient aux données, on parvenait à découvrir la construction demandée.

La première marche constitue la synthèse, qui prouve les vérités connues; la seconde est Vanalyse, qui trouve les vérités inconnues. L'analyse est la méthode d'invention ; c'est par elle seule que l'on flérouvre. La synthèse n'est en réalité qu'une méthode d'exposilion; plus rapide qu'instructive, elle ne doit être exclusivement employée que dans les cas simples où la solution et évidente. En thèse générale, dans toute bonne exposition, il convient de commencer par une analyse succincte et de ne laisser à la synthèse que le soin d'éclaircir les détails; les deux méthodes . se prêtent alors un mutuel secours, l'une guidant la marche, l'autre l'assurant. C'est ainsi que nous avons procédé au § V.

478. Il est impossible d'indiquer une méthode générale et certaine pour résoudre tous les problèmes de Géométrie. La nature des questions qu'on peut poser est trop variable pour que la solution puisse être obtenue à coup sur en suivant une marche unique. Il existe toutefois quelques procédés particuliers qui s'appliquent plus directement à certaines classes de questions. Nous allons indiquer sommairement ici ceux qui se rapportent aux deux premiers livres.

479. Et d'abord, sauf pour un petit nombre de questions très-simples qui se résolvent immédiatement, on procède toujours par substitutions successives. On ramène le problème proposé à un autre, qui se ramène à son tour à un troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un problème connu ou dont la solution soit immédiate.

10'2 GÉOHfiTRIE PLAITB.

C'est ainsi, par exemple, que le problème de mener par un point une parallèle à une droite se ramène à la construction d'un angle égal à un angle donné ; que toutes les questions relatives aux perpendiculaires se ramènent à la première d*entre elles, mener une perpendiculaire sur le milieu fPune droite; que le problème de la tangente commune à deux cercles se ramène à la construction d'une tangente par un point extérieur, etc.

Voici un nouvel exemple un peu moins simple :

Construire, de tous les triangles équilatéraujc dont les côtés passent par trois points donnés A , B, C , celui qui a le plus grand périmètre.

Le sommet M du triangle cherché MNP (fig. 128) doit se trouver sur le segment capable de 60 degrés décrit sur ÀB. De même, le segment capable de 60 degrés décrit sur AC doit renfermer le sommet N. On obtiendra donc un triangle équilatéral circonscrit au triangle ABC, en décrivant sur AB et sur AC deux segments de 60 degrés, menant à volonté par le point A une sécante MAN, et tirant MB, NC, qui, par leur rencontre, donneront le troisième sommet P ; il restera dès lors à choisir parmi tous les triangles qu'on obtient ainsi celui dont le côté MAN est maximum- Le problème est donc ramené au suivant : Mener, par un point k commun à lieux circonférences C et D^ la sécante maximum [Jig, 129). Or, MAN

Fig. iî8. Fig. 129.

étant une sécante quelconque, si Ton abaisse des centres C et D des perpendiculaires CP, DR, sur cette sécante, la droite PR sera la moitié de la sécante, et il suffira de chercher le maximum de PR ou de la parallèle DL qui lui est égale. Or, le triangle rectangle DLC donne DL < CD. CD est donc le maximum de PR, et ce maximum a lieu lorsque la sécante MAN est parallèle à la ligne des centres C et D des deux circonférences.

iSO. Un procédé qui mérite une mention spéciale consiste à replier la figure ou certaines parties de la figure autour d'une droite convenablement choisie, qui prend le nom ù'axe. Sur la figure ainsi doublée, on découvre souvent d'un coup d'oeil , entre certaines lignes, des relations

L1YBE II. — L4 GIRGONFARBNCB DE CERCLE. lo3

qai sans cela seraient restées inaperçues. La théorie des perpendiculaires et des obliques offre un exemple frappant de cette manière d'opérer.

Quand on replie une figure autour d'un certain axe XY, un point quelconque M de cette figure vient en un point M' que Ton peut obtenir en abaissant de M une perpendiculaire sur XY, et en la prolongeant d'une quantité égale à elle-même. Un pareil point M' est dit le symétrique de M par rapport à XY, et le procédé dont nous parlons prend souvent le nom de méthode par symétrie.

Voici deux nouveaux exemples de cette méthode.

i* Étant clonnés deux points X etBet une droite XY, trouver sur cette droite un point M> tel que la somme AM+BM soit un minimum.

Si les deux points donnés sont, comme  et B' {^g. i3o), situés de part et d'autre de XY, la droite AB' résout la question; elle coupe XY au point cherché M.

Si les deux points A et B sont d'un même côté de XY {fig, i3o), on observe que tout point M' de XY est également distant du point B et de son symétrique B' par rapport à XY ( 48) ; le chemin AM'B' est donc égal à AM'B, et il suffit de chercher le minimum de AM'B'. A et B' étant de part et d'autre de XY, on n'a qu'à tirer la droite AB' qui rencontre XY

Fîg. i3o.

Fig. i3i.

au point cherché M. 11 est bon de remarquer que 1rs deux parties AM et MB du chemin minimum sont également inclinées sur XY. En effet, dans le rabattement de la figure autour de XY, lé point M restant fixe, et B venant sur son symétrique B', l'angle BMY recouvre l'angle B'MY; et comme ce dernier est opposé par le sommet à AMX , on voit que les angles AMX, BMY, sont égaux.

a* Étant donnés deux points A et h et une dnnte XY, trouver sur cette droite un point M> tel que BM — AM soit un maximum.

Si les deux points donnés sont, comme A et B' [Jig, i3i), situés d'un même côté de XY, la droite AB' résout la question ; elle coupe XY au point cherché M. En effet. M' étant un point quelconque de XY, on a dans le triangle B' M'A

AB' ou B'M-AM>B'M'-AM'.

I04 GÉOMÉTRIE PLANB.

Si les deux points A el B sont de part et d'autre de XY {fig. i3i), on voit en substituant, comme précédemment, au point B son symétrique B' par rapport à XY, qu'il suffît de tirer ÂB', qui coupe XY au point cherché M.

i8i. Parmi les divers procédés de démonstration, on ne peut passer sous silence la méthode de réduction à l*absurde, qui consiste à montrer que la non- existence de la proposition qu'on veut établir conduit à une absurdité manifeste ou à des conséquences que l'énoncé repousse. Nous Pavons déjà employée plusieurs fois, notamment au n* 57, pour prouver Fexistence des parallèles.

Cette méthode s'applique surtout à la démonstration des réciproques.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de la réciproque de ce théorème:

Dans tout quadrilatère circonscrit ÂBCD, la somme de deux côtés

opposés ÈiR^Gù est égale à la somme des deux autres côtés opposés

AD-f-BC (/g'.iBa).

Fig. i3a.

On commencera par établir comme il suit la proposition directe. E, F, G, H, étant les quatre points de contact des côtés du quadrila tère avec la circonférence inscrite, on a (i70)