AE = AH, BE = BF, CG = CF, DG = DH

d'où, en ajoutant ces quatre égalités membre à membre,

AB-f-CD= AD + BC,

Passant maintenant à la réciproque, on dira : Si, dans un quadrilatère ABCD, la relation

AB-f-CD = AD-hBC

est satisfaite (fig. iSa), ce qudrilatère est rirconscriptiblc, c'est-à-dire que si l'on trace un cercle tangent aux trois côtés AD, AB, BC, et dont le centre sera à la rencontre des bissectrices des angles A et B (170), ce cercle sera nécessairement tangent au quatrième côté CD du quadrilatère. En effet, s'il n'en était pas ainsi, on pourrait mener par le point D une tangente DI à ce cercle, qui couperait en I le côté BC. Le quadrilatère DABI étant circonscrit, on aurait à la fois

AB-f-DI = AD + BI el CD<DI-f-IC.