LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. Io

Il faudrait donc en conclure, en ajoutant l'égalité et Tinégalité posées membre à membre,

AB-f-CD<AD + BC,

ce qui ne peut avoir lieu d'après l'hypothèse.

Lorsque après avoir démontré une proposition directe, on emploie ainsi pour la réciproque la méthode de réduction à l'absurde , cela revient en réalité à démontrer la proposition contraire (19).

La démonstration précédente prouve effectivement que dans tout qua driiatêre non circonscriptible, les sommes des côtés opposés ne sont pas égales; et alors, d'après la règle générale du n° 40, les réciproques des deux propositions directe et contraire se trouvent vériBées simultanément.

i8â. De tous les procédés particuliers, le plus général et le plus fécond est la mét/iode par intersection de lieux géométriques,

La plupart des problèmes de Géométrie se ramènent en dernière analyse à la détermination d'un point d'après certaines conditions. S'agit-il, par exemple, de faire passer un cercle par trois points donnés, tout revient à trouver le centre ; veut^on mener une tangente à un cercle par un point extérieur, on cherche le point de contact, etc. D'après cela, si on laisse de coté une des conditions données, les autres conditions ne suffiront plus pour déterminer un point unique, et il existera une infinité de points qui satisferont à ces conditions et qui formeront par leur ensemble un certain lieu géométrique renfermant le point cherché. En reprenant la condition délaissée, et en faisant abstraction d'une autre condition, on aura un nouveau lieu géométrique qui rencontrera le premier au point demandé. On conçoit que l'élégance et la valeur pratique de la solution obtenue sont subordonnées au choix plus ou moins habile des deux conditions que l'on délaisse tour à tour; car de ce choix dépendent à la fois la nature, la facilité de recherche et la simplicité de construction des deux lieux géométriques obtenus; la ligne droite et le cercle sont les seuls lieux qui doivent figurer dans les problèmes relatifs aux éléments de Géométrie plane, où toutes les constructions s'effectuent avec la règle et le compas.

Les paragraphes précédents renferment de nombreux exemples de cette méthode :

Pour troiwer le centre d'un cercle passant par trois points donnés A , B, C, on fait d'abord abstraction de l'un des points, C par exemple, et Ton trouve pour le lieu géométrique des centres des circonférences passant par A et B la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB ; puis, en faisant abstraction du point A, on a la perpendiculaire élevée sur le milieu de BC pour le lieu des centres des circonférences passant par B et C. Ces deux perpendiculaires se coupent au centre demandé.

Dans le problème mener une tangente à un cercle de centre 0 par un point extérieur k^ le point de contact inconnu doit, d'une part, se trouver

Io6 GÉOMÉTRIE PLANE.

SUT la circonférence 0, et de Taulre être le sommet d'un angle droit dont les côtés passent par les points 6xes A et 0; il est donc à Tintersection de deux lieux géométriques qui sont la circonférence 0, et le cercle décrit sur ÂO comme diamètre.

Voici maintenant un exemple nouveau et un peu plus complexe :

Décrire un cercle qui touc/ie à la fois une circonférence C et une droite AX en un point donné A (Jîg. i33).

Fig.

ie

La perpendiculaire élevée par le point A sur la droite donnée est évidemment un premier lieu du centre du cercle inconnu.

Gela posé, remarquons que ce centre est à une distance du point A égale au rayon du cercle cherché, et à une distance du point C égale à la somme ou à la différence des rayons du cercle inconnu et du cercle donné C, suivant que ces cercles se touchent extérieurement ou intérieurement.

Donc, si Ton prend à partir du point A, de part et d'autre de la droite donnée AX et sur la perpendiculaire qu'on lui a menée au point A, deux longueurs AB et AB' égales au rayon du cercle C, on voit que le centre inconnu est équidistant de B et de C, si le contact est extérieur, et de B' et de G si le contact est intérieur. Les perpendiculaires élevées sur les milieux de BG et de B'G forment donc un second lieu géométrique du centre cherché, et les points 0 et 0' où elles coupent la perpendiculaire menée par A à la droite donnée sont les centres des deux cercles qui résolvent la question.

183. En terminant ces notions, que nous compléterons d'ailleurs à mesure que nous avancerons dans l'étude de la Géométrie, nous devons faire une remarque essentielle. Dans un grand nombre de cas, une heureuse inspiration, fruit de l'habitude et d'un certain sentiment des choses géométriques, conduit à des constructions auxiliaires qui facilitent singulièrement la solution du problème que l'on cherche. Voici deux exemples :

I® Construire un trapèze connaissant les longueurs des quatre côtés, — Il suffit (Pavoir Culée de mener par l'un des sommets une parallèle à l'un