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des côtés non parallèles; on obtient ainsi un parallélogramme et un triangle ; on sait construire le triangle , car on connaît ses trois côtés , et la figure s'achève aisément.
a" Etant données deux paralUdes XY, X' Y', et deux points ketB situés hors de ces parallèles et de côtés différents ^ trouver le plus court cfiemin de X en B par une ligne brisée AMNB telle,, que la portion MN comprise entre les parallèles ait une direction donnée. — Il suffit fPapoir Pidée de mener par le point B (/^jg^. 1 34) la droite BI parallèle à la direction donnée et ég^le à la longueur constante que les deux parallèles XY.X'Y', interceptent sur les droites ayant cette direction. Car si ÂM'N'B est Tun quelconque des chemins considérés dans renoncé^ sa longueur sera égale à celle de la ligne brisée AM'IB; elle se composera donc d'une partie constante BI et d'une partie variable AM'I, et tout reviendra à cheiipber sur la droite XY la position du point M' pour laquelle le chemin AM'I est minimum. Or, cette position n'est autre évidemment que le point M où la ligne droite AI coupe XY. Connaissant M, on n'a plus qu'à mener MN parallèle à la direction donnée ^t à tirer NB, pour obtenir le chemin minimum demandé AMNB.
Fig: 134.
On pourrait multiplier les exemples; mais de tous ceux qu'on citerait, si nombreux qu'ils fussent, on ne ferait pas sortir la moindre règle générale relative à ces constructions, dont la diversité tient à la nature si variable du sujet lui-même, et constitue au fond la richesse inépuisable de la Géométrie.
QVESTionrs proposkes.
§ I. — Des arcs et des cordes.
58. Quel est le lieu géométrique des points situés à une distance donnée d'une circonférence donnée?
59. Une droite de longueur constante reste parallèle à elle-même, tandis que Tune de ses extrémités décrit une circonférence ; quel est le lieu de l'autre extrémité?
60. On donne un cercle 0 et un point A pris dans son plan ; on de-
mande le lieu des milieux des droites qui joignent le point A aux divers pointe de la circonférence 0.
61 . Quel est le lieu géométrique des sommets des triangles qui reposent sur une base Gxe fiC et dans lesquels la médiane issue du sommet B a une longueur donnée?
62. Étant données la base' d'un triangle et la différence des deux autres côtés, trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées des extrémités de la base sur la bissectrice de l'angle au sommet. —Môme question en remplaçant la différence des deux côtés par leur somme , et la bissectrice de l'angle au sommet par celle de son supplément.
63. Si Ton divise la corde d*un arc de cercle en trois parties égales, les rayons qui passent par les points de division partagent l'arc en trois parties, dont les deux extrêmes sont égales entre elles et moindres que la partie intermédiaire.
6i. Par un point A extérieur à une circonférence 0, on mène une sécante ACD dont la partie extérieure AC est égale au* rayon; on mène en outre le diamètre AOB : démontrer que l'angle COA est le tiers de Tangle DOB.
65. Étant donnés une circonférence et un point dans son plan , quelle est la plus petite corde qu'on puisse mener par ce point dans la circonférence?
66. Si deux cordes égales se coupent à l'intérieur ou à Textérieur d'une circonférence, les segments déterminés sur ces deux cordes par leur point de rencontre sont respectivement égaux.
§ II. — Tangente au cercle, — Positions mutuelles de deux circonféfences .
67. La plus petite et la plus grande des droites qu'on peut mener entre deux circonférences, passent par les centres de ces circonférences.
68. Étant donnés trois points non en ligne droite, faire passer par un point donné ou décrire avec un rayon donné une circonférence dont les trois premiers points soient également distants.
69. Si deux cordes AB et CD se coupent dans un cercle, la somme AC-hBD des arcs qu'elles interceptent est égale à la somme des arcs interceptés par les deux diamètres parallèles à ces cordes.
70. Un cercle étant donné , combien faut-il de cercles de môme rayon pour l'entourer?
71. Parmi les sécantes qui passent par l'un des points d'intersection de deux circonférences données, quelle est celle pour laquelle la longueur comprise entre les deux circonférences est maximum?
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72. On donne un cercle de centre 0 et de rayon R , et un point exté» rieur A. Du point  comme centre, avec O pour rayon , on décrit un arc BOG , et du point 0 comme centre avec 2 R pour rayon , on décrit un nouvel arc qui coupe le précédent en B et en G. On mène OB et OC qui rencontrent respectivement en E et en D la circonférence primitive. Démontrer que £ et ÂD sont tangentes à cette circonférence.
73. Quel est le lieu des milieux des cordes d'une circonférence qui ont une longueur donnée?
74. ÂB étant un diamètre fixe d'un cercle, et CD une corde parallèle à ce diamètre, on mène CB et DA qui se coupent en M , puis CA et DB qui 86 coupent en N. Trouver le lieu des points M et N quand la corde CD se déplace parallèlement à elle-même.
75. Quel est le lieu des centres des circonférenc>es de même rayon qui partagent une circonférence donnée en deux parties égales?
76. Quel est le lieu des centres des circonférences de même rayon qui coupent sous un angle donné une circonférence donnée?
§ m. — Mesure des angles.
77. A, B, C, étant trois points quelconques d'une circonférence, D le milieu de Tare AB, et E le milieu de Tare AC, la droite DE coupe respectivement en F et en G les cordes AB et AC. Démontrer que AF = AG.
78. A étant un point quelconque d'un diamètre, B l'extrémité du rayon perpendiculaire à ce diamètre, on mène BA qui coupe le cercle en P, puis la tangente au point P qui coupe en C le diamètre prolongé. Démontrer que CA = CP.
79. A, B, C, A', B', C, étant six points pris sur une circonférence, de telle manière que AB soit parallèle à A'fi' et AC à A'C, démontrer que BC' et CB' sont parallèles.
80. Les hauteurs AA', BB', CC, d'un triangle quelconque ABC, sont les bissectrices des angles du triangle A'BT'.
8i. ABC étant un triangle inscrit dans un cercle, on joint le centre 0 au milieu D de l'arc BC, et Ton mène AD. Démontrer que l'angle ADO est la moitié de la différence des angles B et C.
82. Si par le point A , commun à deux circonférences qui se coupent , on même à volonté deux sécantes ABC^ ADE, les cordes BD et CE qui joignent leurs extrémités se rencontrent sous un angle constant. — Dans le cas où les deux sécantes se confondent , comment faut-il énoncer le théorème?
83. On donne deux circonférences 0 et 0' et un angle XAY situé dans
IIO GÉOMÉTRIE PLANE.
leur plan. Le côté AX coupe la circonférence 0 aux points B et C et la circonférence 0' aux points B' et C; le côté AY coupe la circonférence 0 en D et E, la circonférence 0' en D' et E'. Démontrer que les cordes BD, CE, B'D', CE', indéfiniment prolongées, forment un quadrilatère inscriptible.
81. Si par le point d'intersection 0 des diagonales d'un quadrilatère inscrit ABCD, on mène la corde EOF qui a son milieu en 0, la partie de cette corde interceptée entre les côtés opposés du quadrilatère sera aussi divisée par le point 0 en deu^t parties égales.
85. 0 étant le point de concours des hauteurs d'un triangle ABC et G le point où la hauteur AD rencontre le cercle circonscrit au triangle , on aOD=DG.
86. Étant donnés un triangle ABC et le cercle circonscrit, si du milieu de Tun quelconque des deux arcs sous* tendus par le côté BC on abaisse des perpendiculaires sur AB et sur AC, la somme des dislances des pieds de ces perpendiculaires aux sommets du triangle est égale à la demi* somme ou à la demi-différence des côtés AB et AC.
87. Si par le point A, milieu d'un arc BAC d'une circonférence , on mène deux cordes quelconques AD et AE qui coupent en F et en G la corde BC, le quadrilatère DFGE est inscriptible.
88. ABCD étant un quadrilatère inscriptible, on mène une circonférence passant par A et B, une seconde par B et C, une troisième par C et D, et une quatrième par D et A. Ces quatre circonférences se coupent successivement en quatre points L, M, N, P, autres que les points A, B, C, D. Démontrer que le quadrilatère LMNP est inscriptible.
89. Si dans un quadrilatère ABQ) ou prolonge les côtés opposés AB et CD jusqu'à leur rencontre E, puis les côtés opposés AD et BC jusqu'à leur rencontre F, on forme une figure qu'on nomme quadrilatère cornplet^ et qui renferme quatre triangles ABF, ADE, BCE, DCF. Démontrer : i"* que les cercles circonscrits à ces quatre triangles passent par un même point ; 7^ que ce point et les centres des quatre cercles sont sur une même circonférence.
90. Sur les trois côtés d'un triangle ABC, on construit extérieurement à ce triangle les triangles équilatéraux ABC', ACB', BCA'. Démontrer : i** que les trois droites AA', BB', CC, sont égales; a* qu'elles concourent en un même point 0; S^'que, du point 0, on voit sous le même angle les trois côtés du triangle ABC.
91. Par un point fixe pris dans le plan d'un cercle, on mène diverses cordes : trouver le lieu des milieux de ces cordes.
92. Par Tune des extrémités d'un diamètre AB d'un cercle, on mène
