X'I PRÉFACE

sième degré, et résolul le premier le problème du cercle langent à trois cercles donnés, problème difficile alors, mais dont les méthodes modernes ont offert des solutions plus élégantes et plus simples. On doit à Viète une idée neuve et féconde sur la transformation du triangle sphérique; ce triangle réciproque de Viète conduisit, sans nul doute, Snellius ( 160.7 ] à la découverte du triangle supplémentaire.

C'est dans les écrits de Kepler (1571-1631) et de Fermât (1570-1633) qu'apparaissent les premiers germes de la méthode infinitésimale. On doit en outre au fondateur de rAstronomie moderne la doctrine des polygones étoiles retrouvée de nos jours par Poinsot; et, au célèbre arithmologue, la restitution des lieux plans d'Apollonius et la première solution complète . des problèmes relatifs au contact des sphères.

Pascal {1623-1662), si justement renommé pour ses travaux sur la cycloTde, sur les indivisibles et sur le calcul des probabilités, avait trouvé, dès l'âge de seize ans, la belle propriété de l'hexagramme mystique qu'il prit pour base d'un Traité complet des coniques. Cet ouvrage a été perdu et nous n'en possédons qu'une sorte de programme, VEssai sur les Coni-ques, que Pascal publia dès 1640. Dans les écrits de Pascal, on reconnaît l'influence de son contemporain, le Lyonnais Desargues (i593-i663], qu'un savant géomètre de nos jours, M. Poncelet,a surnommé le Mongede son siècle. Les anciens, qui étudiaient les sections coniques dans le cône même, employaient des démonstrations souvent pénibles et surtout différentes pour les trois courbes. Desargues, en cherchant à appliquer directement aux coniques les propriétés du cercle qui était la base du cône, parvint à des démonstrations qui convenaient à la fois aux trois espèces de coniques, malgré la ditrérence de forme de ces lignes. Il découvrit la propriété involuiive du quadrilatère inscrit dans une conique, la propriété fondamentale des triangles homologit|ues, et écrivit

DB Là premièbb édition. xhi

avec lemème talent et le même esprit de généralisation sur la coupe des pierres, la gnomonique et la perspective.

Placés au point de vue de la Géométrie pure, nous devons seulement mentionner la création de la Géométrie analytique par Descartes (i586-i65o). L*avénement de cette nouvelle doctrine, si séduisante par son caractère d'universalité, et dont on ne trouve aucun germe dans les écrits précédents, fut une véritable révolution dans la science et porta un coup funeste à la Géométrie pure. Cependant, quelques esprits dis* tingués s'opposèrent à cette décadence et soutinrent dignement l'honneur des méthodes anciennes. Nous ne citerons que Huygens (1629-1695] et de la Hire (1540-17 18). Huygens, que Newton proclamait a le plus excellent imitateur des anciens, » et que Leibnitz plaçait au premier rang parmi les hommes de son siècle, créa la théorie des développées et découvrit les lois de la force centrifuge. On doit à de la Hire la théorie du pôle et de la polaire , dont Apollonius n'avait connu qu'un théorème, et la transformation homologique, qui, employée ensuite par Newton, a été retrouvée de nos jours d'une autre manière et développée avec un rare talent par H. Poncelet dans son beau Traité des propriétés projectives des figures (*)j où l'on trouve les applications les plus intéressantes et les plus variées de celte théorie.

A cette époque, trois sortes de Géométrie s'offraient donc aux méditations des savants : la Géométrie des anciens, la Géométrie analytique de Descartes, et une troisième espèce de Géométrie, celle de Desargues et de Pascal, qui devait prendre une si grande extension au xix* siècle et dont on rencontre déjà quelques principes dans les Porismes d'Euclide et les Collections de Pappus. a Cette troisième branche de la

(*) Deuxième édition, i86j; 2 toI. in-/|0 avec planches, chez Gauthier- ViUara, libraire.

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d Géométrie, qui constitue aujourd'hui ce que nous appelons » la Géométrie récente, est exemple de calculs algébriques, 0 quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations 0 métriques des figures que de leurs relations de situation; d mais elle ne considère que des rapports de distances rcoti- » lignes d'un certain genre, qui n'exigent ni les symboles ni » les opérations de l'Algèbre. Cette Géométrie est la conii- 0 nuation de VÀncdyse géométrique des anciens, sur laquelle » elle offre d'immenses avantages par la généralité, Tunifor- » mité et l'abstraction de ses méthodes, et par Tusage si utile » de la contemplation des figures à trois dimensions dans les » simples questions de Géométrie plane (*). »

La découverte du calcul infinitésimal arrêta un moment les progrès de la Géométrie. Cette sublime invention, qui suffirait seule pour immortaliser les noms de Newton et de Leibnitz, s'appliquaavec une si grande facilité à la Géométrie des mesures et à l'étude des phénomènes naturels, qu'elle devint presque exclusivement l'objet des travaux des plus illustres géomètres. Toutefois la chaîne ne fut pas entièrement rompue. Newton lui-même, donnant l'exemple, prouva, dans ses admirables Principes de la Philosophie naturelle^ que la Géométrie pure se prête aux recherches de l'ordre le plus élevé. Cotes (1682- 1716) et Maclaurin (i698-i';4<i) étudièrent les propriétés générales des courbes géométriques. L'astronome Halley (i656- 174^), par ses belles traductions d'Apollonius et de Ménélaûs; Simson (1687-1768), par ses écrits sur les coniques, sa restitution de la section déterminée d'Apollonius et sa remarquable tentative de divination des Porismes; Stewart (17 17- 1785), par ses Théorèmes généraux, tâchèrent de ranimer le goût des méthodes anciennes. Mais en dépit de ces louables efforts, et malgré quelques questions traitées par Euler (1707-

(*) Chasles, Jpereu historique, ., . Bruxelles, 183;.

DE LA PRBaiàRR ÉDITION. XV

1783), Lambert (1728-1777) el d'autres célèbres analystes, aucune doctrine nouvelle ne surgit jusqu'au xix* siècle, et cette période se distingua surtout par les belles applications que l'on fil de la Géométrie à Tétude des phénomènes naturels.

Au commencement du xix* siècle, la création de la Géométrie descriptive marqua une ère nouvelle dans Thistoire de la Géométrie. Considérée comme simple doctrine géométrique, indépendamment de son utilité, pratique, la Géométrie de Honge fut d'un immense secours dans l'étude des propriétés de l'étendue. En familiarisant l'esprit avec la forme des corps, elle développa notre puissance de conception, éclaira la Géométrie analytique dont elle apprit à interpréter les résultats avec une grande facilité, et permit de raisonner, dans les cas les plus compliqués, sans le secours de ces flgures qui, en absorbant l'attention, entravent la pensée. Elle montra l'alliance intime des figures planes et des figures de l'espace, et la science s'enrichit dès lors de ces méthodes élégantes et tant cultivées depuis qui permettent de déduire des propriétés des figures à trois dimensions les théorèmes de la Géométrie plane.

C'est encore à Monge et à son école qu'on doit l'introduction dans la science d'un mode de démonstration qui, quoique manquant au fond de celte rigueur si justement recherchée des géomètres anciens, a cependant conduit à de magnifiques résultats. Nous voulons parler du principe des relations con^ lingentes ou de continuité : a Certaines parties d'une figure, B considérées dans un état général de construction, peuvent » être indifféremment réelles ou imaginaires. Or, il arrive » souvent que ces parties servent utilement, dans le cas de j» la réalité, à la démonstration d'un théorème, et que cette

> démonstration n'a plus lieu quand ces mêmes parties de- » viennent imaginaires. Alors on dit qu'en vertu û\x principe de 9 continuité le théorème démontré dans le premier cas s'étend

> au second, et on l'énonce d'une manière générale. Quelque-

XVI PBÉFACB

» fois le contraire a lieu, el c'est quand certaines parties d'une » figure sont imaginaires que Ton y trouve les éléments d'une » démonstration facile, dont on iipplique ensuite les consé- » quences, en vertu du principe de continuité, au cas où ces » mêmes parties sont réelles el où la démonstration n'existe » plus{*). » Tel a été le point de départ de Tinlroduciion des imaginaires en Géométrie; mais nous devons ajouter que cetto introduction si importante n'a été accomplie, d'une manière véritablement irréprochable, qu'un peu plus tard par M. Chasies, dont les démonstrations se distinguent par ce caractère spécial, que les objets susceptibles de devenir imaginaires n'y entrent pas sous forme explicite, mais y sont représentés par des éléments réels, de même que les racines d'une équation n'entrent pas elles-mêmes dans les calculs de la Géométrie analytique, mais y sont représentées collectivement par les coefficients de cette équation.

L'apparition de la Géométrie de Monge recula donc les bornes de la Géométrie pure, un peu délaissée depuis un siècle, et l'on chercha dès lors à obtenir par cette vole seule les nombreux résultats dont l'analyse de Descartes avait enrichi la science. Parmi les ouvrages entrepris dans ce but et qu'on peut regarder comme l'heureuse continuation de ceux de Desargues et de Pascal, il faut citer au premier rang la Géométrie de position et V Essai sur les transversales de Carnot, les Développements de Géométrie de M. Charles Dupin, et le grand Traité des Propriétés projectiles des figures y dans lequel M. Poncelet, par l'habile emploi du principe de continuité et la belle création des théories des polaires réciproques et des figures homologiques, a démontré toutes les propriétés connues des lignes et des surfaces du second ordre, et a doté en outre la science d'une foule de résultats nouveaux.

(*) CuASLEft, Préfnce de la Géométrie supérieure, i8'|6.