LIGNES PROPORTIONNELLES
DÉFINITIONS
184. On dit que deux grandeurs sont proportionnelles V une à Taulre lorsque le rapport de deux valeurs quelconques A ei B de la première est égal au rapport des valeurs correspondantes C et D de la seconde ( 131) ; et Ton donne le nom de proportion à régalitc des deux rapports
Lorsque les deux grandeurs considérées sont de même espèce, comme deux longueurs, deux volumes, etc., on dit que la valeur D est une quatrième proportionnelle à A, B, C. Dans la même hypothèse, si les valeurs B et C sont égales entre elles, la relation (i} devient
et Ton dit que B est moyenne proportionnelle entre A et D, et (|ue D est une troisième proportionnelle à A et B.
185. Rapportons chacune des grandeurs considérées à une unité de son espèce ; a ei b étant les nombres qui mesurent les valeurs A et B de la première, on aura, d'après un théorème connu (130),
De même, c et d étant les rapports des valeurs C et D à Tu-
Dite adoptée pour la mesure de la seconde grandeur, on aura
Par suite, la relalion (i) se traduit par l'égalitc numérique
qui prend aussi le nom de proportion ^ les deux nombres a et d sont dits le3 termes extrêmes^ et b et c, les moyens. On peut alors chasser les dénominateurs et écrire
ad =: bc.
On énonce ce résultat de la manière suivante : Dans toute proportion [numérique), le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
De même, la relation (2) se traduit par l'égalité numérique
a b b-'d ou
(4) b' = ad et b^^yjâd.
Ainsi, quand une grandeur est moyenne proportionnelle entre deux autres, le nombre qui la mesure est égal à la racine carrée du produit des nombres qui mesurent les deux autres grandeurs, l'unité étant la même.
186. Il importe bien de saisir la distinction qui sépare les relations (i)ei(3). Dans la première, on ne saurait, par exemple, chasser les dénominateurs; le produit de deux grandeurs n'offre en effet aucun sens, car, dans toute mulUplication, le multiplicateur au moin^ est un nombre abstrait.
Toutefois, nous parlerons souvent dans la suite du produit de deux lignes; mais il faudra toujours entendre par là le produit des nombres qui mesurent ces lignes rapportées à une unité commune.
187. Voici un lemhb qui nous sera souvent utile : Supposons qu'un mobile parcoure de gauche à droite une
ligne droite indéfinie XY sur laquelle sont marqués deux
120 GÉOMÉTRIE PLANK.
points fixes A ei B, et éludions les variations du rapport des dislances du mobile aux points A et B [fjg. i35).
Fig. i3j.
X Ji' X m" 0 \ B S' Y
Pour toute position M' du mobile à gauche de A, on a
WTA MB- AB AB
M'B MB ~' MB
On voit par là que si M' est très-loin, le dénominateur M'B
AB
est irès-grand; par suite, la fraction jrp-g est irès-peiile, et le
rapport n^-g est aussi voisin qu on veut de lunite. A mesure
que le mobile se rapproche du point A, le dénominateur M'B
diminue en tendant vers AB; la fraction z^rp^ augmente en se
rapprochant de Tunilé, et le rapport ^=r-— diminue jusqu*à o,
M Jj
valeur qu'il atteint lorsque le mobile arriViC en A. Ainsi, à gauche du point A, le rapport considéré décroît d'une manière continue de i à o.
Au delà du point A, le rapport r-g augmente, puisque son
numérateur croît et que son dénominateur diminue ; et il devient égal à I, lorsque le mobile est au point 0 milieu de AB. Ainsi, de A en 0, le rapport considéré crott d'une manière continue de o « i .
A partir du point 0, en désignant par ^ la position du mo-
NA bile à droite de ce poini> le rapport j^ continue à croître pour-
les mêmes motifs; à mesure que le mobile se rapproche de B, le numérateur NA tend vers AB, le dénominateur.NB diminue en tendant vers o; et, par suite, le rapport acquiert des valeurs de plus en plus grandes et peut même surpasser tel nombre qu'on voudra. On exprime ce fait en disant que la valeur du rapport devient infinie^ et Ton représente par le symbole 00 cet étal limite. Ainsi, de 0 en B, le rapport considéré crott d'une manière continue de i à Tx .
Enfin, pour toute position N' du mobile au delà de B, on a
NA N B-f-AB AB
lorsque le point N' s'éloigne de B, le dénominateur N'B aug-
mente de plus en plus jusqu'à l'infini; la fraction j^t^ diminue
N'A graduellement jusqu'à zéro, et le rapport :jrj7-= décroît succès-
