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sivement jusqu'à i. Ainsi, à droite de B, le rapport considéré

décroît d'une manière continue de l'co à \.

En résumé, le rapport considéré prend deux fois à gauche du point 0 toutes les valeurs numériques moindres que i, et deux fois à droite du point 0 toutes les valeurs numériques supérieures à i .

Donc enfin, étant donnés deux points fixes A. et B, il existe toujours sur la droite indéfinie XY qui les contient, deux points, et seulement deux, tels que les rapports des distances de chacun d'eux aux points K et B aient une même valeur donnée^ Ces deux points sont situés d'un même côté du milieu 0 de AB, l'un entre A et B, i autre en dehors; ils sont d'ailleurs à gauche de 0, comme M et W, ou à droite de 0, comme N et N', suivant que la valeur donnée du rapport est inférieure ou supérieure à V unité.

Le point N, situé entre A et B, divise réellement la droite AB dans le rapport donné; par extension, on dit que le point extérieur N' divise aussi la droite AB dans ce même rapport. Pour éviter toute confusion, on qualifie alors d'additifs les segments NA et NB déterminés par le point N, et dont AB est la somme, et de soustractifs les segments N'A et N'B déterminés par le point N', et dont AB est la différence.

Lorsqu'une droite AB est ainsi divisée par deux points N et N', de façon que les segments additifs NA et NB soient proportionnels aux segments soustractifs N'A et N'B, on dit que ces deux points N et N' divisent harmoniquement la droite AB ou sont conjugués harmoniques par rapport à la droite AB. La relation.

NA N'A NB ~ N'B

122 GÈOHËTEIB PLANE.

pouvant être écrite

AN BN AN'""BN''

on voit que, réciproquement ^ A et B sont conjugués harmoniques par rapport à la droite NN'.

THÉORÈME

188. Deux droites quelconques sont coupées en pai ties pro-^ porlionnelles par une série de droites parallèles; en d'autres termes, lorsque deux droites AG, A' G', sont coupées par une série de parallèles kk! , BB',..., GG', le rapport de deux seg^ ments quelconques de la première droite est égal au rapport des segments correspondants de la seconde (Jig. i36, 187 ).

Fig. i36. Fig. 137.

/ \ V xD'

Il suffit (135) de prouver :

1** Que, si deux segments AB et EF de la première droite sont égaux entre eux, les segments correspondants A' B' et E' F' de la seconde droite sont aussi égaux entre eux;

1^ Que, si sur la première droite, un segment EG est égal à la somme de deux autres AB et CD, sur la seconde droite, le segment E' G', correspondant à EG, est aussi égal à la somme des segments A'B' et CD' qui correspondent à AB et à CD.

i« Menons A'P et E'Q parallèles à AG; A'P et AB seront égales comme parallèles comprises entre parallèles; E'Q sera égale à EF pour la même raison ; par suite, on aura A' P = E'Q, puisqu'on a par hypothèse AB = EF. D'ailleurs, les angles PA'B', QE'F', sont égaux comme correspondants, et les angles A' PB', E'QF',comme ayant les côtés parallèles et de même sens; donc, les triangles PA'B', QE'F', ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, sont égaux, et Ton a A'B'=E'F'.

2» Puisque, par hypoihèse, EF = AB, et GF = CD, on a, d'après ralinéa qui précède, E' F = A' B el FG' = C'D';le segment E'G' est donc égal à la somme de A'B' et de CD'.

La figure peut offrir deux dispositions différentes ; mais la démonstration ne change pas.

189. Toute parallèle DE à l'un des côtés BC d'un triangle ABC, dmse les deux autres côtés en parties proportionnelles [fig. i38, iSg, i4o).

Fig. i38. Fig. iSg. Fîg. i4o.

--Ie Z \