DA EA

ou encore

Chacune de ces proportions se trouve ici démontrée directement ; mais il convient de remarquer qu'en vertu des règles de l'Arilhmétique l'une quelconque d'entre elles entraîne les deux autres.

Nous avons indiqué les trois dispositions que peut présenter la figure.

190. Réciproquement, si deux points D et E, situés respectivement sur deux côtés AB et AC d'un triangle ABC, divisent ces côtés en parties proportionnelles, la droite DE qui unit ces deux points est parallèle au troisième côté BC.

Puisque chacune des proportions (i), {2), (3), entraîne les

1^4 GÉOHÉTBIB PLANE.

deux autres, on peul pariir de Tune quelconque d'entre elles comme hypothèse ; nous choisirons par exemple la première

Cela posé, il4'aut distinguer plusieurs cas :

Supposons d'abord les points D e/ E situés sur les côtés eujcmêmes, c'est-à-dire l'un D entre A et B, et Vautre E entre A et C{Jig. i38); et concevons parle point D une parallèle à BC. Cette parallèle déterminera (189) entre A et C un point dont

DA

les dislances à A et C formeront un rapport égal à i^^- Or,

entre A et C (187), il n'existe qu'un seul point dont le rapport

DA

des distances à A et C soit égal à =-^t et ce point est par hy-

pothèse le point E. Donc la parallèle à BC, menée par le point D, passe par E et coïncide avec DE. Donc enfin DE est parallèle à BC.

Supposons, en second lieu, les points D et E situés sur les prolongements des côtés. Si D est, par exemple, au-dessous

de AB {Jig, iSg), le rapport cr^ sera supérieur à i; il en sera

EA

donc de même de son égal -=r^ et, par suite, le point E sera

pareillement au-dessous de AC. Dès lors la démonstration s'achèvera comme ci-dessus.

On verrait de même que si D était au-dessus de BA (Jîg. i4o ), la proportion (i) exigerait que E fût au-dessus de CA; puis on achèverait la démonstration comme dans le premier cas.

Cette réciproque demande une certaine attention ; l'hypothèse renferme en réalité deux parties : la première consiste dans l'existence de la proportion (i), et l'autre est relative à la situation des points D et E qui doivent être placés de la mémo manière sur les côtés AB et AC. Bien que sous-entendue d'ordinaire pour plus de brièveté, celle seconde partie est indispensable ; car si l'un des poinls 1) était, par exemple, sur le côté AB lui-même el l'autre E sur l'un des prolongements du côté AC, la droite DE ne pourrait être parallèle à BC, bien que la proportion (i) fut satisfaite.

THÉORÈME