DC~MC ® D'C"MC

Ces proportions prouvent (192), la première que MD est la bissectrice de l'angle BMC, et la seconde que MD' est la bissectrice de l'angle supplémentaire BMP. Or, les bissectrices de deux angles adjacents et supplémentaires sont rectangulaires. Donc, le point variable M est le sommet d'un angle droit DMD"^ dont les deux côtés passent constamment par deux points fixes D et D'; tout point M du lieu est donc situe sur la circonférence décrite sur DD' comme diamètre.

Il reste à démontrer que, réciproquement, tout point M de cette circonférence DD' appartient au lieu, c'est-à-dire satisfait à la relation (i).

Or, puisque les points B et C divisent harmoniquement le

128 GÉOMfiTRlE PLANS.

diamètre DD', les points P et Q, où les droites CM et MB rencontrent la circonférence, sont symétriques par rapport au diamètre DD' (193). Les arcs D'P et D'Q sont donc égaux, et la droite MD' est bissectrice de Tangle BMP. On a, par suite, \à proportion

MB D^B m

MC ~~D'C ~ n'