II. - UGNES PROPORTIONNELLES DANS LE CERCLE

DÉFINITIONS

195. On dit que deux droites, tracées entre les côtés d*un angle ou de son opposé par le sommet, sont anti-parallèles, lorsque la première fait avec Tun des côtés de l'angle donné un angle égal à celui que la seconde droite fait avec l'autre côté.

Ainsi, les deux droites DE et BC {fig. i^3) sont anti-parallèles par rapport à l'angle BAC, si l'angle ADE est égal à l'angle

Fig. i/,3.

ACB. Alors l'angle AEI), que la première droite forme avec le second côté AC, est égal à l'angle ABC que la seconde droite fait avec le premier côté AB (79).

' 196. Lorsque les deux côtés d'un angle sont coupés par deux droites anti-parallèles, le produit des distances du sommet aux deux points où chacun des côtés est rencontré par les deux transversales est constant [fig. i43).

Ainsi, BAC étant l'angle proposé et les deux droites BC et DE étant anti-parallèles, on a la relation

AB.ADi=::AC.AE.

En effel, prenons AD' = AD ei AE' = AE, et menons D'E'. L'égalité des triangles ADE, AD'E', qui ont un angle commun compris entre deux côtés égaux, entraîne celle des angles ADE, A'D'E'. D'ailleurs, les angles ADE, ACB, sont égaux par hypothèse (195); donc les angles correspondants AD' E', ACB, sont égaux, et les droites BC, D' E', sont parallèles ( 65) ; on a donc (189) la proportion

AB AC AE'~ ad'

qui, lorsqu'on remplace les quantités AE' et AD' par les quantités égales AE et AD, devient

ii'^XB ^" AB.AD^AC.AE.

197. Réciproquement, si deux droites DE et BC, tracées entre les côtés d'un angle BAC, sont telles, que le produit des distances du sommet aux deux points oà elles coupent chacun des côtés soit constant, c'est-à-dire sont telles, qu'on ait

(i) AB.AD=:AC.AE ou ^=-^.