XX PRÉFACE

avec l'emploi des imaginaires en Algèbre, et où Tapplicaiion de ces méthodes à la théorie des coniques peut mieux en dévoiler Timportance et la fécondité. L'Appendice du quatrième Livre est consacré à l'exposition de Tune des belles méthodes de Steiner sur les maximums et les minimums des figures planes.

La Géométrie dans l'espace a été aussi l'objet de quelques modifications. Grâce à une belle démonstration que nous devons à l'obligeance de M. Ossian Bonnet, nous avons pu simplifier beaucoup le cinquième Livre, qui coûtait aux élèves de si pénibles eiîorts. Nous eussions simpliflé davantage, si, adoptant pleinement l'opinion du savant membre de l'Institut, nous avions placé tout ce qui concerne les droites et les plans parallèles avant la théorie de la perpendiculaire au plan. Mais, comme il est toujours fâcheux de rompre complètement avec la tradition, nous avons cru sage de respecter l'ordre habituel; et nous nous sommes bornés à un changement, partiel il est vrai, mais déjà très-important et qui ne peut manquer d'être bien accueilli, puisqu'il n'exige en tout que le déplacement de deux théorèmes. Nous avons en outre réuni dans le cinquième Livre toutes les propositions qui sont utiles en Géomélrie descriptive, et qui ne font qu'embarrasser les préliminaires de celte dernière science. Enfin l'Appendice renferme les propriétés du quadrilatère gauche et du rapport enharmonique de quatre plans.

Dans le sixième Livre nous signalerons les démonstrations relatives à la mesure de la pyramide et du prisme tronqués; l'extension si utile donnée au mot tronc de pyramide, qui facilite singulièrement l'interprétation des résultats de TAIgèbre; un théorème très-général sur le volume de certains polyèdres; et enfin la théorie de la symétrie que nous avons pu réduire au dernier degré de simplicité, grâce à l'emploi de deux théorèmes fondamentaux dus à Bravais. L'Appendice

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renferme les propriéiés générales des polyèdres, l'analyse du beau travail de Cauchy sur les condilions d'égalité et de similitude de ces corps, la théorie des centres des distances proportionnelles et révaluation de Taire latérale et du volume du ironc de prisme quelconque.

Les démonstrations de plusieurs propriétés des corps ronds ont subi des perfectionnements. Nous citerons en particulier celles qui sont relatives aux aires et aux volumes, et celle du plus court chemin sur la sphère, qui nous a été communiquée par M. 0. Bonnet. On trouvera encore dans le septième Livre la section antiparallèle du cône oblique à base circulaire, les propriétés de la projection stéréographique, et une démonstration simple et rigoureuse du théorème fondamental sur le plan tangent aux surfaces quelconques dont l'existence n'avait encore été établie géométriquement que d'une manière assez peu satisfaisante. L'Appendice contient des développements nouveaux sur la Géométrie de la sphère, trop peu cultivée dans les cours, le théorème de Guldin, la propriété dont jouit la sphère d'être maximum, parmi tous les corps de même aire, et enfin la théorie des polyèdres réguliers. C'est la première fois que la théorie des polyèdres réguliers étoiles et les figures qui s'y rattachent paraissent dans un Traité. Nous avons analysé avec soin les beaux travaux de Poinsot, de Cauchy et de M. Bertrand sur ce sujet. Enfin, l'extension exacte et complète de la formule d'Euler aux polyèdres d'espèce supérieure a permis de rectifier quelques désignations erronées relatives à l'espèce des nouveaux corps.

Le huitième Livre est consacré aux courbes usuelles, c'està-dire à l'ellipse, l'hyperbole, la parabole et l'hélice. Les propriétés fondamentales des trois coniques ont été présentées sur un plan uniforme; nous avons particulièrement étudié ce qui a rapport aux tangentes. Un paragraphe traite de l'ellipse considérée comme projection du cercle et des tracés si com-

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modes qui en découlent. Un autre est relatif aux sections planes du cône et de la surface gauche de révolution; nous y démontrons simplement que la projection d'une conique sur un plan est encore une conique. L'Appendice de ce dernier Livre a une importonce capitale. Il renferme les propriétés fondamentales de l'homographie et de l'involution» suivies de leur application aux coniques, et un résumé substantiel de la doctrine des polaires réciproques, de la transformation homologique et de la méthode de projection. Certains détails délicats, tels que Tintroduction des imaginaires et la notion si féconde des points circulaires à l'infini, ont été l'objet d'gn soin minutieux. Ajoutons qu'on se tromperait en ne voyant dans notre théorie élémentaire des coniques qu'une analyse et des extraits du beau Traité dont M. Chasies vient de publier le premier volume. Notre travail était terminé plusieurs années avant l'apparition de ce savant Ouvrage dont nous avons cependant profité depuis pour améliorer quelques passages. D'ailleurs, la différence du but entraînait nécessairement dans les procédés une différence qui ne saurait échapper au lecteur attentif. Nous demandons la permission d'appeler l'attention sur la démonstration nouvelle du principe fondamental, l'introduction des foyers et la marche simple qui nous conduit aux équations des coniques.

Nous avons donné toute notre attention au style et au choix des nombreux Exercices qui terminent chaque Livre et qui sont classés par paragraphes. Enfin, deux Notes relatives, Tune à rincommensurabilité du rapport de la circonférence au diamètre, l'autre à quelques formules fondamentales dues à Euler, Lagrange et Carnot, terminent cet Ouvrage, que nous livrons avec confiance à l'appréciation de tous ceux qui aiment la Géométrie.

Octobre i865.