P NI

AC égale à P; tirez BC et menez DE parallèle à BC; AE sera la quatrième proportionnelle cherchée. On a, en effet (189),

AB AC M JP^

AD~"AÉ ^" N^AE'

SCOLIES

2<^8. Si les droites N et P éuient égales, AE serait la troisième proportionnelle à M et à N.

249. Si Ton avait à construire une droite x lice à plusieurs longueurs données a, 6, c, rf, a, fr', c', par une expression de la forme

abcd

dans laquelle le numérateur contient un facteur de plus que le dénominateur; on poserait successivement

ab * ^ £»

d'où Ton déduirait

Alors, on construirait d*abord la droite auxiliaire a qui est la quatriènhe proportionnelle à a', a, 6; puis la droite 6, qui est la quatrième proportionnelle à b\ oCf c; et enfm x, qui est la quatrième proportionnelle à c', 6, d.

PROBLÈME

250. Construire la moyenne proportionnelle entre deux droites données A et B.

!• Prenez, à la suite Tune de Tauire [Jig. 174), sur une droite indéfinie, deux longueurs CD el DE respectivement

Fig. i7i. Fig. 175.

C ODB ^ OEO'D

égales à A et à B. Sur CE, comme diamètre, décrivez une circonférence, el par le point D élevez DF perpendiculaire à CE. La droite DF sera (223) la moyenne proportionnelle entre CD el DE, c'est-à-dire entre A et B.

2" Lorsque les droites données A et B sont un peu grandes, on préfère le procédé suivanl : prenez sur une droite indéfinie (^gr-i^^), et à partir du même point C, deux longueurs CD et CE respectivement égales à A et à B; sur CD, comme diamètre, décrivez une circonférence, et élevez EF perpendiculaire à CD; enfin tirez FC. La corde FC sera (223) la moyenne proportionnelle entre CD et CE, c'est-à-dire entre A et B.

3^ On pourrait aussi, après avoir pris CD el CE égales à A et à B(^g', 175), décrire une circonférence quelconque passant parE et D, par exemple la circonférence dont ED est le diamètre, puis mener la tangente CG à cette circonférence. Cette tangente (201) serait la moyenne proportionnelle entre CD el CE, c'est-à-dire entre A el B. Toutefois, au point de vue graphique, ce procédé est inférieur au précédent, et il convlenl de ne l'employer que lorsqu'on veut relier la construclion à une autre figure qui contient déjà plusieurs des lignes dont ce procédé exige le tracé.

SCOLIES

251. La moyenne proportionnelle entre deux longueurs prend souveni le nom de moyenne géométrique, tandis qu'on appelle moyenne arithmétique de ces deux longueurs leur demi-somme.

Les trois côtés du triangle rectangle CGO' {fig^ 175) repré': sentent respectivement : CG la moyenne géométrique des deux

l6o GÉOHÉTR1E PLANE,

droites A el B, CO' leur moyenne arithmétique et GO' leur demi-différence. Comme le côté CG est moindre que l'hypoténuse CO', on voit que la moyenne géométrique est moindre que la moyenne arithmétique. Appelons ô leur différence; le triangle O'CG donne

Ô^'=CÔ''-^Cg'=:(CO'+CG)(CO'~CG);

or, les moyennes CO' et CG sont toutes deux supérieures à la plus petite B des deux lignes proposées; on a donc

>tiB.o\ d'où ^< %/ -

Ainsi, la différence entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de deux longueurs A et B est moindre que lé carré de la différence de ces longueurs, divisé par huit fois la plus petite.

PROBLÈME