OC = R.— =00, 0'C

Le point 0 s'éloignant indéfîniment sur la ligne dés centres, les tangentes communes extérieures seraient parallèles à cette ligne; et quant aux tangentes communes intérieures, elles se couperaient au milieu de la ligne des centres.

PROBLÈME

253. Construire sur une droite donnée : 1° un triangle sem^ blaMe à un triangle donné; 2" un polygone semblable à un polygone donné [fig. 177),

1" Pour construire, sur la droite A'B' considérée comme rhomologue de AB, un triangle semblable au triangle ABC, faîtes un angle B'A'C égal à l'angle BAC, et un angle A'B'C

égal à Tangle ABC. Le triangle A' B'C ainsi obtenu et le triangle donné ABC seront semblables comme ayant deux angles égaux chacun à chacun (206 ).

2* Pour construire, sur la droite A'B' considérée comme rhomoIoguedeAByUn polygone semblable au polygone ABCDE, décomposez ce dernier polygone en triangles, en menant par

Tun des sommets A les diagonales AC, AD. Construisez alors sur A'B' un triangle A'B'C semblable au triangle ABC, puis sur A'C un triangle A'C'D' semblable au triangle ACD, enfin sur A'D' un triangle A'D'E' semblable au triangle ADE. Le polygone A'B'C'D'E' ainsi obtenu et le polygone donné ABCDE seront semblables comme composés d'un même nombre de triangles semblables et cemblablement disposés.

254. Si, au lieu de donner un côté A'B' du polygone demandé, on donnait le rapport de similitude — ? on pourrait encore appliquer la solution précédente, en construisant préalablementune droite A'B'donl le rapporta AB fût égal à — (247).

Dans ce cas, on préfère souvent opérer de la manière suivante : On joint (^g". 178) les divers sommets du polygone donné

ABCDE à un point 0 pris arbitrairement dans le plan de ce polygone; on prend sur OA une longueur OA' dont le rapport

l64 GÉOMÉTRIE PLANE.

à OA soit égal à — *, puis on mène dans l'angle AOB la parallèle A'B' à AB, dans Tangle BOC la parallèle B'C à BC,. . . , el ainsi de suite. Les polygones A'B'C'D'E', ABCDE, sont semblables, car (213) les triangles additifs OB' A', OA'E', OE'D', et les triangles soustractifsOB'C, OC'D', dont la réunion constitue le polygone A'B'C'D'E', sont respectivement semblables aux triangles OBA, OAE, OED, et aux triangles OBC, OCD, qui forment par leur assemblage le polygone ABCDE.

PROBLÈME

255. Construire deux droites, connaissant leur somme et leur produit (fig. 179).

Fig. '79.

Soient BC la somme donnée et A une droite dont le carré est égal au produit donné. Supposons le problème résolu, et soient BF et FC les deux droites demandées; si sur BC comme diamètre on décrit un demi-cercle, la perpendiculaire FE sera moyenne proportionnelle entre BF et FC (223), et par suite égale à A; la parallèle menée par E à BC interceptera donc une longueur BD égale à A sur la tangente en B. De cette analyse, résulte la construction suivante :

Sur BC comme diamètre, décrivez un demi-cercle ; au point B, élevez BD perpendiculaire sur BC et ég^le à A, menez DEE' parallèle à BC, et projetez en F et en F' sur BC les points E el E' où cette parallèle rencontre le cercle. Les deux droites cherchées seront BF ou FC, ou, ce qui revient au même, BF' et FC.

Ainsi, le problème, quand il est possible, n*a qu'une solution. Pour qu'il soit possible, il faut et il suffit que la parallèle DEE' rencontre la demi- circonférence, c'est-à-dire que la droite BD ou A ne surpasse pas le rayon OE ou la moitié de BC. Lorsgùe la quantité A atteint sa valeur maximum jBC, la parallèle DEE' est tangente au demi-cercle, et les deux segments

de BC sont OB el OC. On voil par là que le produit de deux droites dont la somme est constante est maximum y lorsque ces droites sont égales entre elles.

SCOLIE

256. En représentant par p et ^ la somme el le produit donnés, on a

EO == BO r= CO = ^7 FE = BD ---=: fq.

OF

= V^EO^~EF^=.y/Ç-?,

el, par suite,

= BO-OF=f-y/^'-,.

BF