CH AC

d’où

Multipliant cette équation par la précédente et réduisant , on aura

trian. ABC AB x AC trian. A'B’C ~ A'B' x A'C 627. Corollaire. Si les deux rectangles AB x AC , A’B' X A'C', étaient équivalents, les triangles ABC, A'B'C', le seraient également.

628. Théorème. Les surfaces de deux triangles semblables sont entre elles comme les quarrés de deux côtés ou de deux lignes homologues quelconques.

Démonstration. Fig. 18. Les deux triangles ABC, abc, étant semblables on a

AB : ab :: AC : ac.

Les deux triangles rectangles ACH, ach, ayant un angle égal A, sont semblables, ce qui donne CH : ch AC : ac.

Multipliant l’une des proportions par l’autre, on aura AB X CH : ab X ch AC : ac,

AB X CH ÂC’ d’où = —

ab X ch ac

PL. 10. RAPPOBT DES SURFACES. 213

Mais on a (623)

triangle ABC AB X CH triangle A'B'C' ah X ch Multipliant et réduisant, on aura

triangle ABC AC

triangle A'B'C' ac

629. Théorème. Les surfaces des polygones semblablés sont entre elles comme tes quarrês de deux côtés ou de deux lignes homologues quelconques.

Démonstration. Fig. 7, PI. 10. Les deux polygones ËHKBCD, ehkbcd, étant semblables, leurs côtés, et en général leurs lignes homologues, sont proportionnels(413). Ainsi on a

EH : eh ED : ed DC : </c MN : mn.

Elevant tout au carré, on obtient

Ëïi^ ; lîi:: ËD*: Id :: DC*: Te ... . MN*; IZi.

Mais si nous exprimons par T, T', T", etc., les triangles EHK, EKD, DKC, etc., suivant lesquels on a décomposé le polygone EHKBCD, et par t, t', t'\ t"\ etc., les triangles elik, ekd, dkc, etc., qui composent le polygone ehkbcd, on aura

'r : f :: EH ; eA :: MN : mn.

T' ; t' ED ; erf ;; MN : mn.

T' : t" :: DG*: ^*:: i^*: ~^i.

D’où, h cause du rapport commun,

CÉOMf .RlE FLANE.

Et composant

(T-f-T' + T'. . .) : (« -f t' + t''. . .) Mn': IZl, c’est-à-dire

pol. EHKBCD : pol. ehkbcd MN ; mn EH ; eh.

630. corollaire I. Les polygones réguliers d’un même nombre de côtés , étant des figures semblables, leurs surfaces seront entre elles comme les quart és des rayons des cercles inscrits ou circonscrits.

631. Cor- H. Les cercles étant des Ggures semblables, leurs surfaces sont comme les quarrés des côtés des polygones semblables inscrits ou circonscrits.

632. cor. HL Si nous exprimons par S et s les surfaces de deux cercles dont les rayons seraient R et r, nous aurons

S = ttR’.

s = nr\

Divisant la première équation par la seconde, on a

S ttR’ R’

Ainsi les surfaces des cercles sont comme les quarrés de leurs rayons.

633. cor. IV. Si nous exprimons par D et les diamètres de ces deux cercles, nous aurons D = 2R, = 2r, d’où

Divisant et réduisant

Multipliant l’éifiiation (t) par ré([uation (2), on aura

RAPrORT DES SDRFaCES.

PL. iO.

Donc les surfaces des cercles sont comme lesquarrés de leurs diamètres.

634. aemarque. Lorsque l’on connaît le rapport qui existe entre les c<*)lés de deux ligures semblables, et que i’on a calculé la surface de Tune de ces deux figures, on peut facilement en déduire la surface de la seconde.

Supposons, par exemple, yîg. 5, PI. 10, que les côtés AB : ah, soient entre eux comme 11 I 6 , et que la surface du polygone A, soit égale à 72“‘'*,58, on posera la proportion

ab : AB :: pol. abede : pol. ABCDEH, qui devient