ÂB* BD X BC BD

on obtient ^ — — •

AC DCxBC DC

RAPPORT DES SURFACES

Par conséi|ueiit les quarrés faits sur les deux côtés de l’angle droit, sont entre eux comme les segments adjade {hypoténuse.

6i0. cor III. Si dans l’cquation (I) on divise les deux — a

membres par BC, on aura

Âr" bd X BC BD

BC“ Bc" BC

Donc le quarré d’un des deux côtés de l’angle droit est au quarré de l’hypoténuse , comme le segment adjacent au côté que l’on considère, est a l’hypoténuse.

6^rl. a° démonstration. Le théorème qui précède peut être démontré directemeot et sans le secours des triangles semblables.

Ëu ellet , construisons, /7g. 19, PI. 15, les quarrés des trois côtés AB, AC, BC, et traçons la perpendiculaire AD, que nous prolongerons jusqu’à sa rencontre avec le côté UK.

Il résulte de cette construction, que le quarré de l’hypoténuse sera décomposé en deux rectangles BDGK et DCGU.

Or, si nous parvenons à démontrer que le rectangle BDGK est égal au quarré ABHM, et que le rectangle DCGU est égal au quarré ACSN, il sera évident que la somme des deux rectangles ou le quarré de BC est égal à la somme des quarrés des deux côtés AB et AC.

Comparons d’abord les triangles HBC, ABK, nous reconnaîtrons que l’angle HBC se compose de l’angle droit HBA, plus l’angle aigu ABC; mais l’angle ABK est composé du même angle aigu ABC, plus l’angle droit CBK ; donc, l’angle HBC = ABK. De plus, HB= AB comme côtés d’un même quarré, BC = BK , par la même raison ; donc, les deux triangles HBC, ABK, sont égaux, puis-

(ju’ils ont un angle égal compris entre côtés égaux (1V3).

Mais le triangle A6K vaut la moitié du rectangle 6DGK, parce qu’ils ont même base BK, et même hauteur BD.

Les deux angles BAM , BAC , étant droits , les côtés AM, AC, sont en ligne droite, et le triangle HBC vaut la moitié du quarré HBAM, puisqu’ils ont même base HB, et même hauteur AB.

Nous avons démontré que les deux triangles ABK, HBC, étaient égaux ; donc le rectangle BDGK, double du triangle ABK, est égal a'u quarré ABHM, qui vaut le doubledu triangle HBC.

On démontrera de même que le rectangle DCGU est égal au quarré ACSN; donc, la somme des deux rectangles est égale à celle des deux quarrés.

Mais la somme des deux rectangles BUGK, DCGU, n'est autre chose que le quarré de l’hypoténuse BC. Par conséquent , on aura

BG = ÂB + Âc!

On peut écrire la démonstration tout entière de la manière suivante :

BC = BDGK + DCGU.

BDGK = 2. ABK.