AB = AC

129. Corollaire. Le côté BD étant égal à DC , il s’ensuit que la perpendiculaire abaissée du sommet d'un triangle isocèle sur la base, doit nécessairement passer par le milieu de cette base.

130 Théorème. Dans un triangle quelconque , le plus petit côté est toujours opposé au plus petit angle.

Démonstration. Fig. 18. Soit l’angle ABC <) ACB; on pourra toujours concevoir, dansl’intérieur de l’angle ACB, une droite CO , telle que l’angle OCB soit égal à OBC. Le

triangle BOC sera isocèle par le théorème précédent, et l’on aura OB = OC.

Mais, la ligne droite étant le plus court chemin pour aller d’un point à un autre , on aura AC < AO + OC.

Remplaçant OC par son égal OB, il viendra AC < AB

131. Réciproque. Si AC est plus petit que AB, onaiira l’angle B plus petit que l’angle ACB.

Car, si l’angle B était égal à l’angle ACB , on aurait le côté AC = AB , ce qui ii’est pas ; donc l’angle B n’est pas égal à l’angle ACB.

Si l’angle B était plus grand que l’angle ACB , on aurait le côté AC plus grand que AB, ce qui n’est pas ; donc l’angle B n’est pas plus grand que l’angle C.

Or, l’angle B n’étant pas égal à l’angle C , ni plus grand que lui, il faut nécessairement qu’il soit plus petit.

132. Théorème. Fig. 19. Si l'on diminue l’ angle formé par deux côtés AC , AB , d’un triangle CAB , le côté opposé a cet angle diminuera.

Démonstration. Supposons que le côté AC prenne la position AD , on aura :