Corollaire. Si le rapport était donné en nombres

si, pur exemple, on devait avoir AK : AH ”. 5 : 3, on ferait BD = 5 parties quelconques, DC = 3 , et le reste comme précédemment.

688. Problème. Construire un polygone qui soit dans un rapport déterminé avec un ou plusieurs polygones donnés.

On pourra transformer ces polygones en quarrés, et la question ne présentera plus de difficultés (679, 681, 684, 685); mais quand les polygones seront semblables, il ne sera pas nécessaire de les transformer. Ainsi , par exemple :

689. Étant donnés deux polygones semblables B, C , ftg. 14 , on veut construire un troisième polygone A, semblable aux premiers.! et qui soit égal à leur somme.

Solation. Soit b, c, a les côtés homologues des polygones B, C, A, on aura (629)

d’où , en composant ,

(B + C): A (ô’ + c’) : a\ et par conséquent

a’ (B + C) = A (F -t- c’) ; mais on doit avoir par l’énoncé

A = B-t-C ; multipliant et réduisant , on aura a’ = y -f. c".

Ainsi la question se réduit à trouver une droite a dont le quarré serait égal à la somme des deux quarrés F etc’ (679).

TRANSFOnMATION DES FIGURES.

Quand on aura trouvé a, il nu restera plus (ju’à construire sur celte droite, le polytxone A , semblable à B ou à C (459).

690. Corollaire. Si l’on donnait les deux polypones A , C, et qu’il fallût construire un polygone semblable B, égal à leur différence, on déduirait de la première proposition B ; (A — C) b‘ (a“ — c’) ;

d’où b' (A — C) = B («’ — c’) ,

mais on doit avoir

B=A— C; multipliant et réduisant, on aurait V = a^ — c\

Ainsi , on obtiendrait b en construisant le côté d’un quarré équivalent à la différence de deux quarrés donnés a’ et c“ (681).

691. Cor. II. Fig. 14. Si l’on voulait construire un polygone A semblable à un autre polygone donné B , et qui soit à ce dernier comme m : « , on aurait (629)

A ; B : ; rt’ : : : m : ,

d’où a’ ; ô’ m : n.

Ainsi la question se réduirait à trouver le côté a d’un quarré a' qui soit à un autre quarré b', comme m ; n (686). Après quoi ou construirait sur a un polygone semblable au polygone B (459).

692. Problème. Fig. 15. Construire un poljgone équivalent au polygone A et semblable au polygone B.

Solation. Exprimons par b l’un des côtés du polygone B, et par x le côté homologue du polygone demandé, que nous désignerons par X, on aura par suite de la similitude ([ui doit exister entre les polygones X et B B : X x’;

ci:OMÉTHI£ PLANE.

mais puisque le polygone X doit être équivalent au polygone A, on pourra remplacer X par A, ce qui donnera B : A A’ : x'.

Supposons actuellement que l’on ait transformé les deux polygones A et B en quarrés équivalents, et désignons par m* le quarré équivalent à A , et par n’ le quarré équivalent à B , nous aurons

B : A n’ ; mimais par suite du rapport commun aux deux dernières proportions , on aura

n’ : m’ é’ ; a:’; et prenant la racine de chaque terme , n I m :: b I X ,

donc X est une quatrième proportionnelle aux trois droites n, m, b.

Ainsi , en résumant , voici l’ordre des opérations :

1° On transformera le polygone B en un quarré équivalent , dont on désignera le côté par n (667);

2° On transformera le polygone A en un quarré équilent, dont on désignera le côté par m (667);

3® On construira la quatrième proportionnelle aux trois droites n, m, b, ce qui donnera x (442);

4“ On construira sur x une figure semblable au poly- • gone B (459).

693. corollaire. Si les polygones B et X devaient être réguliers, il vaudrait mieux chercher le rayon du cercle circonscrit au polygone X, et pour cela il suffirait de remplacer dans les formules précédentes, b par r, et x par R.

LIVIIE QUATRIÈME.

UK L'USAGE QUE L’ON PEUT FAIRE DE L’ALGÈBRE POUR L’EXI’RESSION DES RELATIONS GÉOMÉTRIQUES.