CHAPITRE PREMIER
Théorèmes .
691». Définitions. Les signes algébriques sont principalement utiles pour exprimer les relations qui existent entre les dimensions de l’étendue.
En effet, si l’on a deux droites AB , CD, on pourra exprimer
Leur somme par AB -j- CD ;
Leur différence par AB — CD ;
Leur produit par AB X CD ;
Leur quotient par
695. La somme ou la dijffércnce des deux droites AB et CD est évidemment une ligne droite.
Le produit AB X CD exprime le rectangle qui aurait l’une des deux lignes pour base et l’autre pour hauteur.
Quant au quotient
CD’
que l’on peut écrire AB : CD,
il est évident qu’il représente le rapport numérique qui existe entre les deux droites données.
696. Pour indiquer In position des points qui sont liés entre eux par les côtés des figures , on a dû désigner par rfe«ar lettres , les longueurs de ces droites ; mais, toutes les fois qu’il ne s’agit que d’exprimer les rapports de grandeur entre les quantités que l’on compare, et que l’on peut faire abstraction de la position relative de ces quantités, il est plus simple de désigner chacune d’elles par une seule lettre.
Ainsi, par exemple, si nous exprimons deux lignes droites par a et par b, il est évident que a b exprimera leur somme ; a — b sera leur différence ;
ab sera un rectangle ayant pour base la droite a et pour hauteur la droite b ;
a* sera le quarré construit sur le côté a;
ab
-—exprimera la moitié du rectangle ab, ou ce qui est la
même chose , un triangle dont la base serait a et la hauteur b , ou dont la base serait b et la hauteur a.
L’expression exprimera la surface d’un tra-
pèze dont la hauteur serait a, et qui aurait pour base les 'droites û et c (602).
Enfin la fraction - sera le nombre qui indique combien
de fois la droite a contient la droite b, ou le rapport numérique de ces deux lignes (352).
697. Suivant l’usage adopté dans le langage algébrique, nous exprimerons par x, j' ou z les quantités inconnues, ce qui empêchera de les confondre avec les quantités connues ,
PL. 18. APPLICATION DE l’algèbre. 211
que nous désignerons toujours par les premières lettres de l'alpliabel.
Le langage algébrique est également utile pour faciliter l’étude des principes, et pour la solution des problèmes. Nous allons commencer par la recherche de quelques principes.
• II
698. Théorème. Si nous exprimons deux droites par a et par b, leur somme sera a -\-b.
Multiplions ce binôme par lui-même, nous aurons pour résultat
(1) (a -f ô)> = a* -f- 2aé -I- £*.
Or, le premier membre de cette équation est évidemment un quarré qui a pour côté a -{-b, et si l’on traduit la formule dans le langage géométrique, on voit que
Le quarré qui a pour côté la somme a -\-h de deux droites, contient le quarré a’ de la première droite; plus, deux fois le rectangle ab , qui aurait pour base l’une des deux droites, et pour hauteur la seconde, enfin le quarré b* de la seconde droite.
La démonstration du théorème que nous venons d’énoncer, est suffisamment complète, et le résultat peut être considéré comme un corollaire évident du principe de la multiplication algébrique; mais, pour lever tous les doutes, et préparer à l’emploi simultané des langages algébrique et géométrique, nous allons, par une construction, mettre en évidence la rigoureuse exactitude de la formule.
Soit , fig. 1, PI. 18 ,
AB = a ; BC = b ,oa aura AC = a-\- b ;
de sorte que le grand quarré ACDN représente le premier membre de l’équation (1). Mais il est évident que ce quarré contient les termes qui composent le second mem-
Lre, et que l’on peut considérer la figure comme la traduction géométrique de la formule.
699. Tbéorème. Si l’on multiplie par lui-méme le trinôme o-f-è 4- c, on obtiendra l’équation
(a -j. ô c)’ = a* -f- 2aô -f- 2ac -|- i’ -j- Sic -f- c*.
Cette relation est rendue évidente par la construction de \3ifig- 2, dans laquelle on a supposé que AB = O; BC = b ; CD = c.
Le quarré ABOH, qui représente le premier membre de l’équation, contient évidemment tous les termes qui composent le second membre.
700. Tbéorème. Le produit du binôme (a — b) par luiméme donne l’équation
(a — i)* = a’ — 2ai -f- i*.
Pour mettre en évidence les relations exprimées par cette formule, nous supposerons, 3, que AB = o , et nous construirons le quarré ABCD, qui, par conséquent, vaudra a’.
Nous ferons ensuite BO = i , et nous construirons le quarré BOKH = b*.
Ainsi la ligure totale AOKHDC = a’ b*.
Supposons actuellement AS = i, le rectangle ASCM vaudra ai, et si l’on prolonge KH jusqu’au point N, le rectangle SOKN sera encore égal à ai, puisqu’il aura pour hauteur OK = i, et pour base OS, qui vaut AB -|- BO — AS = a -}- i — i = «.
APPLICATIOlt DE l’algèbre.
Or, si de la Ggure totale on retranche les deux rectangles ASMC, SOKN, il restera le quarré MDNH, dont le côté MD = CD — CM = a — b.
Ainsi, en résumant, on aura MDHN = ABCD + BOKH — ASMC — SOKN ; ou, ce qui est la même chose ,
(a — i)* = a’ -4- — 2aô.
En général, le quarré qui a pour côté la différence a — h de deux droites , contient le quarré a* de la première droite, plus le quarré h’ de la seconde droite, moins deux fois le rectangle qui aurait ces droites pour côtés.
701. Théorème. Si l’on multiplie le binôme (a -|- b) par le binôme {a — b), on aura
En effet, supposons, fg. 4^ AB =a et BC = è. Il est évident que la figure ACKODH vaudrai* — b*. Mais si l’on transporte le rectangle ACKM à la place occupée par le rectangle DOPS, on aura
HMPS = HMOD + DOPS ,
DOPS = MACK,
HMOD + MACK = ACKODH ,
ACKODH =ÂB— BC".
Ajoutant et réduisant, il restera
HMPS=ÂB— BC, ^
ou HS X PS=ÂB — Bc',
«t par conséquent
GiOHÉTRIE FLANE.
c’est-à-dire que le rectangle qui a pour base la somme a b de deux droites , et pour hauteur la différence a — h de ces mêmes droites , est égal a la différence a» — b* des quarrés de ces droites.
702. Réciproque. Toutes les fois que l'on aura un binôme égal à la différence de deux quarrés,* on pourra le décomposer en deux facteurs, représentés parla somme et par la différence des côtés de ces quarrés. Ainsi on aura
ÂB — BC = (AB -f BC) (AB — BC),
(a-|-ô)* — (a—by z= [(a-f-ô) + (a— ô)] [(a-f ô) — {a— b)] =
= (a -(- ô -j- a — b){a -\-b — a ô) = 2a X 2ô= kab.
703. Théorème. Les figures peuvent être, considérées comme la traduction géométrique des relations exprimées par les formules correspondantes; et réciproquement, on peut exprimer par une formule les relations qui existent entre les différentes parties d’une figure.
Ainsi, par exemple, si nous appliquons au triangle rectangle la convention énoncée au numéro 2^9 , nous aurons BC = a; AG = ô; AB = c, et par les théorèmes (637, 6H), on aura
Démonstration. On a donné un grand nombre de démonstrations différentes du principe que nous venons d’exprimer en algèbre. 11 est évident qu’une seule suffisait, mais pour exercer, et pour faire voir en même temps avec quelle exactitude on est toujours ramené vers les vérités
ArPLICATIOR DE l’algèbre.
fondamentales, par la combinaison des principes démontrés, nous allons encore donner la démonstration suivante :
Soit, y/g^. 5, le triansjle rectangle ABC, dans lequel nous désignons, comme ci-dessus, BC para; AC par è, et AB par c.
Construisons, sur BC, le quarré BCDH, et menons DO perpendiculaire sur AC , HP perpendiculaire sur DO, et prolongeons BA jusqu’au point Q. Le quarré BCDH sera composé de quatre triangles et d’un quadrilatère.
Les angles des points A, O, P étant droits, l’angle Q du quadrilatère le sera également , et par conséquent, les quatre triangles seront rectangles; de plus, ils sont égaux , puisqu’ils ont les hypoténuses égales , et que les angles aigus sont égaux, comme ayant leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun (89). Or, de l’égalité des quatre triangles, on déduira évidemment
QB = PH = OD = AC = ô,
QH =PD = OC = AB = c,
ce qui donne
tri. BQH = HPD = DOC = CAB = ^; (601 )
de plus on a
