La formule x = |/b’ -f- c’ est une hypoténuse
CONSTRUCTION DES FORMULES
Ed eii'el, en élevant chacun des deux membres au quarré on aura x* = A* c’.
Or, si l’on connaissait la valeur de x, et si l’on cohstruisaitun triangle avec les trois droites A, c, x, ce triangle serait rec<«ng-/e, puisque le quarré d’un de ses côtés serait égal à la somme des quarrés des deux autres côtés; et, dans ce triangle, la lettre x serait évidemment ffijpoténuse.
7&.1. Par conséquent, toutes les fois qu’une ligne sera exprimée par un radical du second degré, sous lequel il y aura la somme de deux quarrés, cette ligne sera l’hypot émise d’un triangle rectangle.
Ainsi lorsqu’on aura
on pourra dire que/ est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, dans lequel p et q sont les deux côtés de l’angle droit ; que z est l’hypoténuse d’un second triangle rectangle , dont les côtés de l’angle droit sont a et - ; enfin,
<|ue U est l’hypoténuse d’un troisième triangle rectangle, dans lequel un des côtés de l'angle droit serait (p -t- y) , tandis que le second côté de l’angle droit serait (p — q).
Pour obtenir une hy[)oténuse, on fera les opérations indiquées au numéro 679.
7i3. La formule x = a’ — h* est un côté d’angle droit.
En etfet, si l’on élève chacun des membres au quarré, on obtient
,r* = a’ — A* , d'où ,r’-l-A’ = a*.
Par conséqucul , le Iriaiigle qui aurait pour côtés les trois droites a, i, x, serait encore rectangle, puisque le ([uarré d’une de ces lignes est égal à la somme des quarrés des deux autres. Mais, il est évident, que dans ce triangle, c’est la ligne a qui serait l’hypoténuse , et que par conséquent x serait l’un des côtés de l’angle droit.
IWW. On devra donc se rappeler, que la forme algébrique d’un côté d’angle droit , consiste dans un radical du second degré , sous lequel il y a la différence de deux quarrés. .
Ainsi, par exemple,
Il = (/(p + ?)* —{d — Kf
sont des côtés d’angles droits.
Dans le premier triangle, l’hypoténuse est p , et les côtés de l’angle droit sont q et y.
Dans le second triangle, l’hypoténuse est a, et les côtés a
de l’angle droit sont - elz.
EnGn, dans le troisième triangle, (p-fijf)sera l’hypoléniise, et les autres côtés seront {d — h) et u.
745. On pourra toujours obtenir un côté d’angle droit en opérant comme nous l’avons dit aux numéros 681 ,
746. Fornmles composées- Toute expression algébrique du premier degré, i|ui ne contient pas de radicaux supérieurs au second degré, peut être ramenée à l’une des cini) opérations qui précèdent ; et, quelque composée que
PL. 18. CONSTRUCTION DES FORMULES. 2(Î7
soit la formule, il est toujours facile de reconnaître par quelles constructions graphiques on peut obtenir l’inconnue.
74 . 7 . La construction d’une formule se composera souvent de plusieurs opérations diverses ; mais, pour fixer les idées, nous donnerons à l’inconnue le nom correspondant à la dernière des constructions que l’on devra faire pour obtenir sa valeur.
748. sommes oa différences de lignes. Toutes les fois que l’expression algébrique de l’inconnue se composera de plusieurs termes du premier degré, séparés par les signes -j- ou — , nous lui donnerons le nom de somme ou différence de lignes.
Constmction. Nous avons dit au numéro 225 , <|ue pour ajouter ou retrancher plusieurs lignes droites, il fallait faire la somme de toutes celles qui ont le signe , faire ensuite la-somme de toutes celles qui ont le signe — , et prendre la diflérence des deux sommes
Il est évident que cette construction sera toujours la même, quels que soient le nombre et la forme des termesque l’on veut ajouter ou retrancher , pourvu que chacun de ces termes représente une ligne, ce qui aura lieu toutes les fois qu’il sera du premier degré (729).
749. Si la somme des lignes que l’on doit retrancher était plus grande que la somme des lignes que l’on doit •ajouter, la valeur de l’inconnSe aurait le signe moins, et l’on sait {Algèbre) que dans ce cas, elle doit être portée; en sens inverse de celui que l’on avait supposé dans la. ejuestion.
GKO.METRIE FLANE.
750. Quatrièmes proportionnelles. Toutes les fois que l'inconnue sera exprimée par une fraction algébrique dont le numérateur sera d'un degré plus éleué que le dénominateur, nous lui donnerons le nom de quatiième proportionnelle.
Construction. Soit, par exemple, la formule
abc
dlT
On décomposera le second membre en facteurs de la manière suivante ;
ab e
Or, il résulte de ce que nous avons dit au nu-
, ab
mero 734 , que le premier facteur est une quatrième
proportionnelle, et que le facteur j est un nombre (729).
On pourrait donc obtenir chacun de ces facteurs par une construction séraphique (442, 443, 357) après quoi, multipliant la ligne par le nombre, on aurait la valeur de l’inconnue x. Mais il n’est pas nécessaire de chercher la va-
leur numérique du facteur — . En effet, supposons qu’a-
, ab
près avoir construit la quatrième proportionnelle — , on
exprime cette quantité par et qu’on la substitue dans la valeur de x, on aura
ab d d yr/
pr,. 18
CONSTRUCTION IIFS FORMULF.S.
Ainsi ,
1" Opération. On conslruir.i !;i qunlriènie |>ro|)ortion-
nelle — , ce qui donnera r. C73!i-)
2* Opération. On construira la quatrième propôrlionyd
nelle et l’on aura x. (734)
abcde , .
2* Exemple- Soit x = ^ , on écrira
pqrs
ab c d e .r = — X-X - X-; pqrs
ab
donc, X est égal à la quatrième proportionnelle — , mul-
tipliée par le produit des trois nombres —, —, -.
ab yc d e
On fera — — r, d ou a; = — X - X P ' q r s
yc y'd e
on fera ensuite ' — = r', d où .r = — • X -y q r s
on fera - — = >", et l’on aura x = — c ■<
Ainsi on construira successivement
Si l’on fait le produit de ces quatre équations, on aura,
abcdv. -Il
en réduisant, x — , ce qui prouve 1 exactitude de
pqrs
la décomposition précédente.
^70 GF.OMtTnlE PLANE. PL. 18.
On construirait de la même manière les formules
abcdef ahdefgh
jl ^ ,
on
fera rt* -| è* = y* ; d’où y =\/a* b*.
> pqmiis pqmnsv
3” Exemple- Pour construire la formule x = ,
et l’on aura x = — .
2' Solution. Ou fera b* = ay. d’où y=
et I on aura x = = — .
3' Solution. On aurait pu considérer la formule proposée comme exprimant une somme.de lignes.
Pour cela, il aurait fallu écrire x = = 1
en faisant alors — y ; y , on aurait eu x = y -f- y'. Ainsi on construirait
4' Exemple. Pour construire la formule x =
on remarquera que le numérateur n’ — b‘ est décomposable en deux facteurs du premier degré (702), et l’on
aura de suite x =
5' Exemple. Soit la formule
+ b’c -t- dlifii
CONSTRUCTION DES KOflMÜLES.
On fem i*c = a\y ; dhni = a^y' ; j»* =
b*c dhrn d *
llOÙ J=— ;j' = ;Z=-;.
a* •' a rt*
az',
et l’on aura on fera et l’on aura
+ a*y + a^y ' a{a + y + y') az + az' Z + z'
(rt +j + /) = U ; (z + z) = U, au
2' Solution. Si dans la formule proposée , P* + — y* < on aura
a’ + i’c + dhm a’ i’u rfA//t
on lait
de sorte que x est la somme des trois termes dhm
— J-, que nous désignerons parz, z', z". Ainsi,
on con-
struira successivement les quantités^, z, z', z" , et enfin X =: z + z’ + z".
751. On voit que la même formule peut être construite de plusieurs manières.
Ainsi la quantité
a’ + b*c + dhm
sera une quatrième proportionnelle si nous employons la première solution, tandis que si nous décomposons le second membre en trois termes , comme nous venons de le faire, l’inconnue x sera une somme de lignes. En général, chaque transformation donne une construction différente, et l’on peut obtenir par conséquent autant de solutions que l’on veut; il ne reste plus qu’à choisir, dans chaque cas, celle qui donne lieu aux opérations
GEOMEThlE PLANE.
les plus simples; mnis , ce qui est surtout essentiel à remnrquer, c’est que toutes les upcrntions graphiques se réduisent toujours à l'une des cinq Jornmles du numéro 731.
752. Moyennes proportionnelles- Lorsque l'inconnue sera égale à la racine quarrée d’un monôme du second degré, nous la nommerons moyenne proportionnelle.
Construction. Pour obtenir une moyenne proportionnelle, il faut décomposer le monôme (pii est sous le radical en deux facteurs du premier degré , qui sont les extrêmes d’une proportion continue , dans laquelle l’inconnue serait le terme moyen. Ainsi, par exemple, pour construire la
formule x= \/ 3a*, on écrira x = \/'ia X a. (738)
a’ Exemple.
Pour construire x =
on écrira
on écrira
Exemple, boit x =- \/ ,
qm . —
on fera — j- ~j, ce qui donnera x = y py\ ainsi on
construira :
X = ]/py.
fL. 18.
CORSTKXJCTION DES FORMULES.
*• Exemple- Soit x = \/ 63«’ ,
on écrira x= |/9a x 7a- ("38)
Pour construire la formule précédente, on aurait pu
écrire x = y^\a X a.
Mais cette seconde solution ne vaudrait pas la première, parce que les deux facteurs étant très-inégaux, la perpendiculaire couperait la circonférence trop obliquement (444, 445).
753. Hypoténnses. Lorsque sous un radical du second degré on aura la somme d’un nombre quelconque de termes du second degré, l’inconnue sera une hypoténuse. conetmetion- Soit par exemple la formule
Il sufBra de construire un triangle rectangle dans lequel
les côtés de l’angle droit seraient a et — . L’bypolénuse
JL
sera évidemment la valeur de l’inconnue demandée.
2* Solution. On pourrait encore écrire
Dans ce cas, l’inconnue serait une moyenne proportion nelle.
a* Exemple. Construire la formule
on fera a’ + i* = 7 ’ , d’où 7 = p^a’ -f- , (741)
et l’on aura .r = + c’. (741)
3' Exemple. Construire la formule
X = + ic.
On fera bc = y', d’où / = |/èc (738)
et l’on aura x = j/n*
4* Exemple. Construire la formule X = (/eta*.
On pourrait écrire x = \/ 61a x o,. (738)
Dans ce cas, x serait une moyenne proportionnelle, mais, par suite de la grande inégalité des deux facteurs, les constructions des numéros 444, 445, seraient peu exactes.
Dans ce cas, il vaudrait mieux écrire X = \/ 60a’ + a’ ;
on ferait 60a’ = /’; d’où/ = |/l2a X 5a, (738)
et l’on aurait x = y' y + a’. (741)
2* Solution. On pourrait écrire
X = |/ 61a’ = l/45a’ + 16a’, onferait 45a’= /’, d’où/=J/9« X 5a, (738)
et l’on aurait x = |//’ -|- (4a)’. (741)
3* Solution. En remarquant que 61 = 36 + 25, on aura une construction encore plus simple , puisque l’on pourra écrire de suite
x= l/6Ïâ»= l/36a’+25a’ =\/(6a)’+(oa)’.'
754. c6tés d'angles droits- Lorsque, sous un radical du second degré , on aura un nombre quelconque de termes du second degré, si un seul, ou plusieurs de ces termes sont précédés du signe — , la formule exprimera un côté d'angle droit.
