ÂD = AB X AC = AB X 2 AB = 2AB
762. Corollaire 1. Si l’on voulait construire un quarré é,.;al à cinq fois le quarré donné ; on écrirait ** = 5a’
d’où X = 5a’ = X. a.
763. Cor. II. Si l’on veut, au contraire, que le quarré demandé soit égal à la cinquième partie du quarré donné,
on écrira x’= — ;
d’où x = (738)
Ces deux derniers problèmes avaient déjà été résolus aux numéros 681» et 685; mais j’ai cru devoir les répéter ici, afin de montrer comment l’algèbre indique les constructions à faire dans chaque cas.
76à. Problème. Construire un quarré qui surpasse un autre quarré donné, des trois huitièmes de sa valeur. Solation. Fig. 2. Désignons encore par a le côté AB du
quarré donné; on aura
d’où
Lu valeur de l’iDconnue sera une liypoténuse, et si l'on 3a>
fait
on aura
et par conséquent x = (740)
a* Solation. On peut reprendre l’équation primitive 3a*
X* =a* +— ; et faisant disparaître le dénominateur, on
obtiendra d’où
et par conséquent
8x* = 8a* + 3a* = lin*, . lia*
V / lia* I / lia
Conttrnotion- On partagera AB en huit parties égales, et l’on portera trois de ces parties de B en G; on décrira la demi-circonférence ADC; on prolongera KB jusqu’au point D, et la corde AD sera le côté du quarré cherché AD'OH.
On remarquera que la construction que nous venons de faire, est également la conséquence de la formule obtenue dans la solution précédente.
En effet, la droite BD, perpendiculaire sur AC, est moyenne proportionnelle entre les deux segments AB et BC, ce qui donne la proportion
a : BD BD :
«1 où BD — .
Ainsi, BD représente la quantité que nous avions nommée 7 , et le côté AD étant l’hypoténuse du triangle rectangle ABD,il est évident que l’on aura
âd"= âbV bd*.
ou x' = a* -f —
765. Problème. Construire un quarré qui soit égal à un autre quarré donné, moins les deux septièmes de sa valeur.
Solation. Fig. 3. Soit AB = a le côté du quarré donné;
on écrira
d’où
on fera
d’où ' J
et l’on aura
a? = V/fl* — 7 *.
On reprendra l'équation x' — e
3° Solation-
et faisant disparaître le diviseur, on aura successivement 7x* = 7a* — 2a*
d’où a: = = y/ a X y. (738)
ConatracHon. On décrira la demi-circonférence ADB ; on partagera AB en sept parties égales, et par le cinquième
0£0METIU£ PLANE.
|)oint (le division on tracera la droite CD perpendiculaire sur AB. La corde AD sera le côté du quarré cherché- AD'OH.
On remarquera que la corde BD est éi;ale à la quantité que nous avons nommée^ dans la solution précédente.
766. Problème. Construire un quarré qui soit à un autre quarré comme m ; n.
Solution. Fig. k. Exprimons par a le côté AB du quarré donné, et par x le côté AD' du quarré cherché ; on aura •r* : fl* ;; m ; n.
ce qui
. . /a*m \ / am
idonnex=Y/ - = \/ “ X “ =
am / —
on fera — = doùo:= r aj. (738)
construction. On fera AI = n, A V = m; on joindra le j)oint I avec V, et l’on tracera SU parallèle à IV, ce qui donnera AI : AV :: AS : AU,
. am
d’où n : m :: a : AU = = y. (733)
On décrira la demi-circonférence ADU, et l’on tracera BD perpendiculaire sur AU.
La corde AB = I/AB X AU = ay sera le côté du (juarré cherché.
767. Corollaire. On opérera de même pour construire un polygone semblable à un autre polygone donné , lors-
que l’on connaîtra le rapport — qui doit exister entre ces
deux polygones. Ainsi, par exemple, si nous exprimons le polygone demandé par X, et son côté AD' par x, le polygone donné par A, et son côté AB par a, nous aurons encore X : A ; : F ; -,
SOLUTIONS GBAPIIIQUES.
mais on doit avoir X ; A ;; m : n \ on aura donc, à cause du rapport commun,
\ / o>m \ / ant
dou = = ax— .
Constrnction- 5. On feraAI = n,A'V=m-, onjoindra le point I avec V, et l’on tracera SU parallèle .à IV, ce
qui donnera, comme précédemment, AU = — = >'•
On construira AD = moyenne proportionnelle entre AB et AU, et l’on n’aura plus qu’.à construire sur AD' = AD, un polygone semblahle au polygone donné ABKHS.
"ÏCS. Problème- Étant donnés un rectangle, fig. 6; un triangle, fig. 7 ; un trapèze, fig. 8, et un pentagone régulier, fig. 9 , on veut construire un quarré équivalent à la somme de ces quatre figures.
Solution. Exprimons par a la hase AB, et par b la hauteur AD du rectangle donné.
Par d la hase EF, et par h la hauteur GN du triangle. Parm et n les deux hases parallèles du trapèze, et par la hauteur HQ.
Enfin parc le côté VU du pentagone régulier, et par r
le rayon du cercle inscrit, on aura (696)
Surfaces: Rectangle = ab-,
rr. . ^ dh
Triangle
5cr
Pentagone = -rj-;
Et si l’on désigne parx le côté du quarré cherché, on
aura
dh P (m -f n) 5cr
X* = rtô 4. — + — ! + ,
,, , \ / , dh P {m + n) 5c/'
dou x=Y/ai + — + — +— ; (753)
on fera
, dh P (m + n) ücr
et l’on aura x = + y'^ + j"* + y'"*.
On fera j’ + j'* = z% d’où z = V' y* +y» (7.V0)
+y'’ — d’où z' = + y"*; (740)
enfln z'* +^'"* = x*, d’où x = + y'”‘. (740)
Constraction- l'^Opération. Fig. 6. On fera AD'=AD=è; on décrira la demi-circonférence AKB , et l’on aura
AK = v/«Â = ,7- (738)
2' Opération. Fig. 7. On fera EM' = ^^ = -; on décrira la demi-circonférence ELF, et l’on aura
EL = \/— =y. (738)
3‘ Opération . Fig. 8. On fera QL = QH = QH=p;
on décrira la demi-circonférence QSL , et l’on aura % / P ('" + n)
SOLUTIOKS graphiques.
4* Opération. Fig. 9. On fera 5VU 6c
PX = — = -;PO' = PO=r; on décrira la dcmi-circonférence PZX ; et l’on aura
PZ
5* Opération. Fig. 10. On fera A'K' = AK , on tracera KL' = EL, et perpendiculaire sur A'K'; ce qui donnera
6* Opération. On fera L'S' = QS et perpendiculaire sur A'L' ; ce qui donnera
T" Opération. On fera S'Z' = PZ , et perpendiculaire sur A'S'; ce qui donnera
769. problème. Construire un quarré moyen proportionnel entre deux rectangles donnés.
Solution. Fig. 11 . Soit ABDH et ACOK les deux rectangles donnés ; désignons AB par a, AH par b ; nous aurons ab pour la surface du premier rectangle.
Si nous exprimons ensuite AC par c et AK par d, nous aurons cd pour la surface du second rectangle.
Enfin si nous nommons x le côté du quarré cherché, nous aurons la proportion
ab : X* x’ : crf, d’où X* = abcd,
ce qui donne .r = l^abcd = ab X cd.
GÉOMÉTRIE PLAXE.
On fera
cd = z’.
d’où
y —V'ab-,
Z ==\/ cd,
et l’on aura
X = y/ abcd =
— l/yz.
Construction- 1” Opération. On décrira la demi-circonférence ASB, on rabattra AH en AH', et l’on tracera H'S perpendiculaire sur AB ; ce qui donnera
AS = VaB X AH' = Kai = j.
2* Opération. On rabattra AK en AK'; on décrira la <lemi-circonférence AUK', et l’on tracera GU perpendiculaire sur AK'; ce qui donnera
AU = V/AC X AK' = VTd = Z.
3' Opération. On rabattra la corde AS en AS' et la corde AU en AU'; on décrira la demi-circonférence S'MU', et la perpendiculaire AM sera le côté duquarré demandé, car on aura évidemment
AM = AS' X AU' = AS X A\i = \/ ab x.V' cd = \/abcd,
d’où AM = abcd = -r*,
et par conséquent ab x* y. x’ : cd.
