Corollaire I. Le lecteur aura sans doute reconnu
PL. 2t.
SOLUTIONS GRAPHIQUES
ici, le problème que nous avions déjà résolu au numéro et qui nous a servi plus tard (447) pour déterminer le côté du décagone régulier inscrit dans un cercle. Par conséquent, si nous exprimons par R le rayon d’un cercle donné, le côté du décagone régulier inscrit aura pour expression
algébrique ~ 2 T'
Il ne faut pas oublier cette formule, que nous retrouverons ailleurs, et qui exprime le plus grand segment du rayon partagé en moyenne et extrême raison.
801. Si dans la formule qui exprime x", on remplace a par R, on aura
et la valeur absolue de cette quantité sera la corde qui sous-tend les trois dixièmes de la circonférence.
Ce que l’on pourra facilement démontrer par un raison< iiement analogue à celui du numéro 447.
802. Problème. Construire un décagone régulier dont on connaît le côté AB = d.
solation. Fig. 6. Si nous exprimons le rayon du cercle circonscrit par R, nous aurons (447)
R : rf : (R — d), d’où R (R — d) = d*.
Cette équation, résolue par rapport à R, nous donnera
Construction. A l’une des extrémités de AB, on élèvcr.i
la perpendiculaire BO = tracera I liypolé-
nuse AO, ce qui donnera
2 2 2 JX
AO = AB -f BO = rf* + -,
d’où
Du point O comme centre, avec un rayon OB = décrira l’arc de cercle BG, et l’on aura
on
AC = OC + AO = ^ + y/^* + ^’= R’.
L’arc CC', décrit du point A comme centre, déterminera le point C', qui est le centre du cercle circonscrit au décagone régulier, qui a pour côté AB.
Si l’on décrit l’arc BK, on aura
AK = -OK-fAO=---fy/ =
d’où R"=AK. .
Ainsi AK est la valeur absolue de R".
803. La droite AK' = AK sera le rayon d’un cercle, dans lequel la corde AB sous-tendrait un arc égal aux trois dixièmes delà circonférence.
80iii. Problème. iFig- '7. Etant donné un cercle de rayon AB, on veut décrire avecle même centre, un second
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cercle d‘ un rayon tel que l’espace compris entre les deux circonférences soit moyen proportionnel entre le premier cercle et le second.
solution. Expriraous par R le rayon AB du cercle donné, par r le rayon AD du cercle cherché, nous aurons Surface cercle AB = tiR’,
Surface cercle AD = irr*,
Surface couronne = ttR* — 7t/‘* .
Les conditions du problème donneront la proportion irR* : (tiR* — TT/-*) :: (uR* — tt/-*) : w’,
<l’oÙ TT* R’/ ’ = (ttR*
Extrayant la racine, et divisant pam, on obtient Rr=R* —
équation qui, étant résolue, donne
Ces formules, identiques avec celles du numéro 800, nous apprennent que, pour partager la surface d’un cercle en moyenne et extrême raison, il suffit de partager le rayon dans le môme rapport.
Conitruction. On fera la tangente BC
on tracera l’hypoténuse AC, ce qui donnera 2 — 2 — 2 ni
AC = AB + BC = R‘ -f- ,
d’où
CÉOUÉTRie PLANE.
On décrir.1 l’arc de cercle BD, et l’on aura
AD = — CD + AC = — - + W R’+y = »'.
Si l’on continue l'arc DB jusqu’en D', on aura
AD' = CD' 4- AC = I + \y R* 4-
et le cercle qui aura pour rayon r" = AD' satisfera encore à la question, c’est-à-dire que l’on aura
itAD': VnAD' — TtABj ;; (nAD' — nAB ) : ttAB.
805. problème. Fig. g. Étant donné un cercle de rayon AB, on veut décrire un second cercle qui ait le même centre et qui soit moyen proportionnel entre le premier cercle et l'espace compris entre les deux circonférences.
Solation. Exprimons par Rie rayon AB du cercle donné, par /• le rayon AD du cercle cherché, nous aurons Surface ce/ c/c AB = ttR*,
Surface cercle KD = arr*.
Surface couronne — ttR* — itr*.
Les conditions du problème donneront la proportion ttR’ : i:r* :: w* ; (ttR* — irr*).
Divisant par n, on obtient
R* : /•* :: r* ; (R* — r’), d’où R*(R’ — r*) = r‘,
équation qui devient successivement /•*= R* {R« — r’),
= R‘ — R»; *, r* + RV* = R‘.
