soLOTio:»* graphiques
Si 1 on f;iit r* = .t, on aura / ‘ =r .r*, et l'équation précédente devient x* -f- R*.r = R*,
qui, étant résolue, donne
x — 2 dzy/ R‘-f Remplaçant j; par r*, on a
d’où
Prenant la racine de chaque côté, on a
806. Les deux valeurs /" et /" sont imaginaires, et n’ont par conséquent rien à faire ici ; il ne nous reste donc plus qu’à examiner /■' et r"'.
807. Parmi toutes les transformations que l’on peut faire , il en est une très-remarquable et qui conduit à une constructiou extrêmement simple. En efiet , on peut évidemment écrire
=\/4-sV'>’4>
GÉOMÉTRIE PLAKTE.
I,a formule que nous venons tl’oblenir, nous permet île considérer r' comme une moyenne proportionnelle , et si Ton examine le facteur binôme qui est compris entre deux crochets sous le radical, on reconnaîtra l’expression algébrique que nous avions déjà trouvée au numéro 800 pour le plus grand segment du rayon partagé en moyenne et extrême raison-, de sorte que si nous exprimons ce facteur
par y, nous aurons
Conxtrnction-
On fera la tangente BC =
AB
tracera l'hypoténuse AC, ce qui donnera
3 3 —3 Rt
AC = AB-f- BC = R* 4-—.
d’où
Du point C comme centre on décrira l’arc de cercle BH, et l’on aura
ah = -ch + ac=-?+y/h* + ^=^.
On rabattra AH en AO, on élèvera OD perpendiculaire sur Ab, et l’on décrira la demi-circonférence ADB, ce qui déterminera le point D. EnGn on tracera la corde AD, ce qui donnera
ad=v/abxa6=v'^=\/ r(— R’+ y)='-'-
Ainsi le cercle qui a pour rayon AD satisfera aux conditions du problème.
808. Le valeur absolue de r'" étant égale à celle de r', la construction sera la même et conduira au même résultat -, le signe — qui précède cette valeur indiquant seulement un renversement dans la construction, que l’on peut faire
PL. 21. sotuTioss graphiques. 325
à gauche (lu point A, au lieu de la faire à droite , cequi donne pour lésultat AD' au lieu de AD.
809. Problème. Fig. 8. Le rectangle ABGD étant donné, on veut déterminer sur les côtés, huit points qui soient les sommets ctun octogone équilatéral.
Solation Nous exprimerons le côté AB par 2a, le côté AD par 2ô, et nous nommerons 2x le côté MV du polygone demandé. Nous aurons également MN z= 2x ;
IsH = 2x, et par conséquent AM = AE — Ai\=AF — FN=Ô — X.
-EM=a
Le triangle MAN étant rectangle, on aura
MN = Am'+ an",
ou (2x)« = (a — O.-)’ -4- (ô — x)
équation (jui , étant résolue, dorme
ia -h ÔV
/ a^h . /a»-hô«
la/-
constmctlon. Les opérations à faire pour obtenir l’inconnue, peuvent être disposées d’un grand nombre de manières, mais la précaution que nous avons prise d’exprimer les côtés par des multiples de 2 , nous permettra de simplifier le travail , en donnant plus de symétrie aux diverses parties de la figure.
1” Opération. Après avoir déterminé le point O, centre du rectangle donné, on tracera la droite OD, que l’on par-
GÉOMÉTr.IE PLANE.
tarera au point I en deux parties éi;ales. On rabattra Kl en Kl' et l’on aura évidemment
OI'= OK + Kl' = OK -f- Kl = - + - =
2* Opération. On tracera la droite OC, et l’on aura
ôc = 5 pV pc"= «> + /.*.
3* Opération. On décrira la demi-circonférence OSC, et par le point U, milieu de OC, on élèvera la perpendiculaire US, ce qui donnera
OS = OCxOU = OC X
OC
OC a‘ + b‘ 2 ~ 2
k* Opération. On ramènera OS en OS', perpendiculaire sur 01'; on fera S'I" égale et parallèle à Ol', et l’on tracer;! 01”, ce qui donnera
■! 2 1 2 J I ht
01" = OS' -I- S’I" = os + Ol’ = ^ +
d’où
5' Opération. On ramènera l''S' en T'S", et l’on aura
• os"-=— s''r-f-or=— x'.
6“ Opération. On décrira l;i circonférence qui^i pour rayon OS", et l’on tracera quatre tangentes parallèles aux côtés du rectangle donné. Les points de rencontre de ces tangentes avec les côtés du rectangle, seront les sommets de l'octogone demandé.
810. Remarque. Quelque compo.sée que paraisse l;i construction précédente, il est cependant facile de reconnaître que chaque opération particulière est écrite dans l.i formule, et <(U il a suffi de f;iire en quelque sorte une traduction mot h mot, pour arriver au résultiit.
Le nombre des opérations contribue même a luire mieux
SOLUTIONS CnsPHigUES.
sentir Tutilité du langage algébrique, sans le secours duquel on aurait difficilement reconnu les relations qui existent entre les inconnues et les quantités données.
811. Si l’on continue l’arc de cercle S"S' jusqu’à ce qu’il coupe le prolongement de la droite 01", on obtiendra OS"', qui sera la valeur absolue de l’inconnue x".
En effet , ou aura OS'" = TS'" -f Ol" =
par conséquent x" = — OS'".
Si l’on décrit la circonférence qui a pour rayon OS'", et que l’on trace comme précédemment quatre tangentes parallèles aux côtés du rectangle donné, les points où les prolongements de ces côtés seront coupés par les tangentes, seront les sommets d’un second octogone équilatéral, du genre des polygones que l’on nomme étoilés.
En prenant les sommets dans l’ordre indiqué par les chiiires il sera facile de reconnaître l’égalité des côtés.
812. Discnsaion. Si le rectangle donné était un quarré, on aurait b=.a , et la formule deviendrait
’ -I ~\/ 2 -Vaj*
(|ui, après toutes réductions, donne
X — — « ± la'.
La figure 10 contient les opérations qui se rapportent à la première valeur de l’inconnue x.
Un résultat assez curieux est celui que l’on obtiendrait en supposant a = 3ô.
On aurait alors a; = — 2ô ± 3ô , et la première valeur de a’ donnerait pour sommets »lu polygone demandé les points qui partagent les plus grands
GÉOMÉTRIE PLAKE.
côtés en trois parties égales ; ce qui permettrait île considérer le rectangle donné, /ÿ. H, comme un octogone équilatéral , ayant pour sommet les points 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7,8.
Si 1 on avait a > 3è, le polygone demandé aurait des angles rentrants, 12.
Enfin, si 1 on avait b = 0 , la formule deviendrait
Dans ce cas, le rectangle donné se réduirait à la droite 13 ; 1 octogone correspondant à la valeur positive de 1 inconnue serait composé de deux triangles équilatéraux liés entre eux par la droite 8 — 7 3—4, qui
représente deux côtés opposés réunis en un seul.
Je laisse au lecteur le soin de construire la seconde valeur de 1 inconnue pour chacun des cas particuliers que nous venons d’indiquer.
