X AB

835. problème. Fig. 11. Le côté BC d'un octogone régulier vaut 12 mètres ; on demande le rayon AB du cercle circonscrit.

Solation. Concevons la droite BO perpendiculaire sur AC ; le triangle ABO sera rectangle en O; de sorte que

l’on aura AB = AO -{- BO j

de plus, l'angle BAO valant un demi-angle <lroit, ilestévident qu’il doit en être de même de l’angle ABO; donc le triangle ABO est isocèle.

Exprimantle rayon AB par R, et faisant AO = BO= a.', on obtient

344 CÉOMÉTKIE PLANE. FL 22.

mais le triangle BOC étant rectangle en O , nous aurons

BÔ%0C = BC' qui, en exprimant OCpnr^, devient

(2) JC» -f- 7'* = (12)* = 144.

£nGn on a AO + OC = AC , d’où

Ainsi la question est complètement exprimée dans le langage algébrique par l’ensemble des équations

(3) X -\-jr = R.

La troisième équation donne

élevant au quarré, on obtient

y* = R* + X* — 2 Rx,

qui, étant substituée dans l’équation (2) , donne

(4) 2x* — 2 Rx+ R* = 144.

Mais l'équation (1) donne

2x» = R* , d’où X = ■ ■ ■

Substituant ces valeurs dans l’équation (4), on obtient 2R’

d’où , après toutes réductions ,

836. corollaire I. Pour obtenir le rayon AD du cercle inscrit, on remarquera que le triangle ABD est rectangle

enD, ce qui donne AD = AB — BD , qui , en exprimant AD par devient

remplaçant R par sa valeur trouvée précédemment, on obtient

d’où r=6\/3+2V'2 = 6(l-|-V/2) = U”,W.

Cette dernière transformation provient de ce que

3+2V/2 est le quarré de 1 -}- V/2*

837. Cor. II. Si l’on exprime par s la surface du triangle ABC, on aura

BC X AD 12r 12 x 6(1 + V^2)

3* Solution. On peut arriver au même résultat en écrivant

AC X BO Rx R X R R*

remplaçant R par sa valeur, on a

838. Problème. 12. Ze coté BC d'un octogone régulier est égal à 5 mètres; on demande la surface.

Solation. Le polygone entier se compose de 8 triangles isocèles tels que ABC.

Or, si nous exprimons par s la surface d’un de ces

triaogles, nous aurons en opérant comme ci-dessus :

multipliant par 8, nous obtiendrons pour la surface de l’octogone ,

2* Solution. Fig. 13. Le côté BC de l’octogone donné étant égal à 5 mètres, le périmètre vaudra 8 X 5 ou 40 mètres ; et si nous exprimons par r, le rayon AD du cercle inscrit, nous aurons

(1) S= -=^Qr.

Traçons les deux droites Kl , CH, nous aurons Kl = 2AD = 2r.

Le quadrilatère KBCU sera un losange, et l’on aura KU = BC = BK = eu = 5 mètres.

L’angle HCI sera droit, comme étant inscrit dans la demi-circonférence, qui aurait pour diamètre HI, de sorte que le triangle rectangle UCI, donnera