corollaire. La proportion (1) donne

ce qui permet de calculer le polygone inscrit, lorsque l’on connaît le polygone circonscrit et les deux rayons il et r.

849. Problème. Les trois côtés d'un triangle sont 100 mètres , 90 mètres et 70 mètres ; on demande la surface.

golntton. Fig. 1", PI. 23. Soit BC = 100, AB= 90, AC = = 70. Concevons la perpendiculaire AD, que nous exprimerons par h , on aura pour la surface

BC X AD

Le triangle ABD, rectangle enD, nous donnera

ÂD =Tb— BD*, qui , en exprimant BD par x, devient

Mais l’angle B est aigu, car s’il était obtus, il serait opposé au plus grand côté du triangle. Par conséquent , on aura , par le théorème du numéro 70i,

Xc = ÂB*4- BC*— 2BC X BD, ou

(3) (70)‘ = (90)’ + (100)* — 2 X lOOx.

Ainsi , toutes les conditions du problème seront complètement exprimées par l’ensemble des équations

(3) (70)* = (90)* -f- (tOO)* — 200x.

La troisième équation étant résolue, donne

66, d’où X* = (66)*-

Cette valeur étant substituée dans l’équation (2) , on obtient

/t* = (90)* — (66)* = 8100 — Ü356 = 3744 , d’où h = 1^3744= 12\/26,

et par conséquent

850. corollaire I. Nous avons trouvé précédemment AD = A = 12\/^ =61", 19;

si l’on veut obtenir les autres perpendiculaires BK, eu, le travail sera beaucoup plus simple. En ell’et, on a ACxBK ^

évidemment ^ = surf. ABC.

Or, si l’on exprime BK par h\ l’équation précédente deviendra = 600^^^,

d’où 3oA'= 600\/26.

et par conséquent

ABxCÜ

On a ensuite = surface ABC ,

qui , en exprimant eu par h!' , devient

d’où 45A" = 600K^

et par conséquent

600l/^ MI/Ï6

= 1 fi 7 m no

851. cor. II. Fig. 2. Soit O le centre du cercle circonscritautriangledonné.Traçons ADperpendiculairesurBC, le diamètre AE que nous exprimerons par 2& , et la corde BE.

Le triangle ADC est rectangle en D, par construction ; l’angle ABE est droit, puisqu’il est inscrit dans une demi-circonférence. De plus, les angles AEB, ACD sont égaux comme inscrits dans le même segment (196). Donc, les deux triangles ABE, ADC sont semblables, ce qui donne la proportion