AB : CD :: PN : PM
qui devient 15 : 6 :: 12 : (12 — A),
d’où 15(12 — A)= 6x12,
qui , étant résolue , donne A = — ,
et par conséquent
859. Problème. Fig. 8. Les deux bases AB, CD d'un trapèze isocèle , sont 12 mètres et 8 mètres , la hauteur vaut 6 mètres ; on demande par quel point de la grande base il faut élever une perpendiculaire pour que la surface toit partagée dans le rapport des nombres 2 et 3.
solation. Le trapèze donné étant isocèle, il s'ensuit que si l’on construit les perpendiculaires GO , DK , les deux triangles ACO, DKB seront égaux; or on a AO + OK+KB = 12,
retranchant OK = 8
il reste AO + KB = & ,
et puisque AO = KB, il en résulte que chacune de ces li-
gnes est égale à 2; ainsi on a
tri. ACO = tri. DKB = — ^ — = 6.
Supposons actuellement que la perpendiculaire demandée soit MN , et nommons x la distance ON , on aura NK=rOK — ON = 8— a:, d’où l’on conclura
Bect. CMON = MN x ON = 6a: ,
Bect. MDKN = MN X NK = 6 (8 — x).
Mais on doit avoir
(ACO + CMON) : (DBK -f MDKN) 2 : 3 ;
ou (6-f 6x) : [^6-f 6 (8 — x)j ;; 2 : 3;
on en déduit l’équation
qui , étant résolue, donne
ON = X = 3 mètres ;
ainsi le point N est situé .à 5 mètres du point A.
860. Problème. Fig. 9. Les bases AB, CD d’un trapèze isocèle., sont 10 mètres et 2 mètres, la hauteur AE = 8 mètres ; on veut partager la surface en deux parties équivalentes , par une droite MN perpendiculaire au côté AC.
GÉOMtTRIE PLANE.
solation. Concevons les droites AE , BH perpendiculaires sur CD. Le trapèze donné étant isocèle , les deuz triangles AEC , BDH , seront égaux et nous aurons EC = DH ,
d’où 2 EC = EC +. DH = EH — CD = 10 — 2 = 8, par conséquent EC = k.
Le triangle AEC étant rectangle en E donne
âcLaê+ëc"
qui devient
Âc’= (8)* = 64 -H 1 6 = 80 ,
d’où AC = yëÔ = 4 V^5.
Si nous traçons la droite BO, perpendiculaire sur AC, Ifs deux angles EAC, ABO seront égaux, parce qu’ils auront leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun , et les angles AEC, AOB étant égaux comme droits , il s’ensuit que les deux triangles AEC, ABO seront semblables ; d’où résulte la proportion
AC : AB :: AE : BO, qui devient 4 : 10 8 : BO,
d ou BO = — = — 7 = =4^5.
La comparaison des mêmes triangles donne la proportion AC : AB :: EC : AO ,
qui devient 4 V^H : 10 :: 4 : AO,
d ou AO — = — 7- = 2 \/5.
Si nous traçons la droite DU perpendiculaire sur le prolongement de AC, les deux triangles rectangles AEC, DUC seront semblables puisque les angles ACE , DCU seront opposés par le sommet ; on aura donc la proportion AC : DC :: AE : DU,
qui devient d’où
iV /5 : 2 :: 8 : DU, 2X8 4
