Corrollalre. Si le triangle était isocèle on aurait

c = A, dou S = — .

897. problème. Les trois côtés d’un triangle quelconque étant exprimés par a , par b , et par c , on demande l’expression de la surface.

Solution. Fig. 1 , PI. 23. La droite AD étant perpendiculaire sur BC , on aura

„ BC X AD ah (1) S= ^ ~~2’

le triangle rectangle ABD donne

âd’=âb— bd",

PL, 23 FORMULES GÉNÉRiLES. 391

qui, en exprimant BD par x, devient

enfin on peut toujours admettre que l’angle B est aigu, et le théorème du numéro 704 donne

ÂC*= ÂB*+ BC’— 2BC X BD ,

ou , ce qui est la même chose ,

( 3 ) &> = c* + a* — 2ax.

Ainsi , les conditions du problème sont complètement exprimées par l’ensemble des trois équations :

ah

(3) A’ = c* -f- a* — 2ax.

L’équation (3) étant résolue , donne

Cette valeur étant portée dans l’équation (2), on obtient

/ 2ac -j- c* + a* — A* \ / 2ac — c* — a*

d’où h =

' ^ 2ac — c’ — a’ ^

' ha'

\/ (g-|-A-t~c) (A-j-c — g)(u~hc — A) (a-{-A — c)

Substituant dans l’équation (1), on obtient a|/( g + A4-c) (A + c — g) (a + c— A) (a+A— c) ^ ' " 2X2a

Pour simplifier l’expression de celte formule, les géonièlres sont convenus d’exprimer le périmètre du triangle par 2/>. Il résulte de cette convention que l’on a

rt -f* —

Ces valeurs étant portées dans la formule, on obtient

^ = V'p{p- a){p-~b)(jp—c).

DlMuuslon- Si l’on veut exprimer que le triangle est équilatéral on fera a = b = c , ce qui donnera

2p = a-|*a-|-a = 3a, d’où p =

et la formule devient alors

Si le triangle était rectangle on aurait

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