BD* = AD* AB* — 2AD X AP

qui

devient x* = a’ -1- c*

2az ,

d’où

Le même théorème appliqué au triangle BCD, donne BD* = DC* -f CB + 2CB X CN ,

qui devient X* = b* -f* ri* -\-idit, jc'—b' — d*

d’où

2rf

Les valeurs que nous venons d obtenir pour z et pour u, étant substituées dans l’équation (4), on obtient r, (x* — b* — ri*) b (a* c* — x )

2ri

2rt

398 GÉOMÉTRIE PLANE. PL. 2ft>.

.. , , W{a*+c*)4-ûc(i*+ </*j

ac -f- bd

celle valeur de x* étant portée dans l’équation (5) , on obtient

bd^a' -f- c*) -f- ac [b* d*)

ac bd

^ 2(ac -f- bd)

Celte quantité étant portée dans l'équation (2) , on a

L 2(ac + M) Jl 2[ac + bd) J

Transformant , on obtient

c'{b-\-c-\-d — a) (a-l-c-f-fi? — b) [a+b+d — c) {a+b+c—d)

k (ac -j- bd)* ’

d’où

, cV^ <,b+c+d—a) (a+c+d—b) {a+b+d—c) [a-\-b-\-c—d)

2 [ac -f bd)

La valeur obtenue précédemment pour x*, étant portée dans l'équation (6), on obtient

bd[a}-(-c*)-\-ac{b*-\-d*) ^

ac bd ^ ^

^ 2[ac + bd) ’

Cette quantité étant portée dans l’équation (3), on a = fè -P h(a* + c*-b*-d*) -^ n b[a* + c*-b*-dn

L 2 (ac -f- bd) JL 2 [ac bd J

Transformant, on obtient

b*[b+c+d-a)[a-^c+d—h) (ajf.b+d—c) (g+é+c— rf )

& [ac -f- bd)* ’

2 [ac -f bd

d’où

RAPPORTS NUMERIQUES

bl/{b+c+d — a) {a+c+d~b)(a+b+d — c)[a+b+c — d) ^(ac-^bd)

Enfin les valeurs de A et de A étant substituées dans l’équation (1), on obtient après toute réduction

Si nous exprimons le périmètre a-}- b +- c d par 2/> , nous aurons

903. Bemarijae. La recherche des formules générales offre un sujet inépuisable d’étude aux personnes qui cultivent les sciences. La géographie, l’astronomie, la physique, la mécanique, etc. , conduisent à une foule de questions qui , résolues une fois pour toutes , concourent ellesmêmes à la solution de questions nouvelles; c’est pourquoi j’engage le lecteur à continuer lui-même ce genre de travail, qui sera pour lui une préparation utile à l’étude des parties plus élevées des mathématiques. Je me contenterai, pour le moment , d’indiquer encore quelques sujets d'exercices.

904. Polygones réffnllerB. On peut exprimer par des formules les côtés de tous les polygones réguliers que l'on sait inscrire dans le cercle.

iOO GÉOMÉTRIE PLANE. PL. 2i.

Ainsi, p.ir exemple, en désignant le rayon par R, et le côté (lu polygone régulier inscrit par C, on aura

POLYGONES

IN8CBJT8.