DU RATON
1 Quarré
Octogone
c = Ry/ 2 —
Triangle
C = RV/3.
Hexagone
1 Dodécagone
Décagone
Pentagone
On pourra s exercer aussi, à chercher l’apothènie et la surface de chacun de ces polygones.
Rapports numériques.
905 Définition. Une des questions les plus utiles pour les applications mathématiques, c’est la recherche des rapports numériques.
Nous avons déj.i dit, au n” 357, comment on peut trou-
RAPPORTS NUMERIQUES
ver graphiquement le rapport qui existe entre deux quantités données ; mais cette manière d’opérer ne peut être admise qu’à défaut de méthodes plus rigoureuses , déduites de la définition géométrique des quantités que l’on compare.
En général , on doit chercher à exprimer les deux quantités proposées, en fonction d’une troisième, qui disparait lorsque l’on divise l’une des quantités par l’autre pour obtenir leur rapport. Mais souvent aussi , l’une des deux quantités données peut être prise pour terme de comparaison ; ce qui dispense d’employer une commune mesure auxiliaire. Nous allons éclaircir ces principes par quelques exemples.
906. problème. Trouver le rapport numérique entre la diagonale et le côté du quarré.
, Solation. Si nous exprimons la diagonale par D , et le côté par C, nous aurons
D* = 2C*, d’oùD = CV^-
Divisant les deux membres par G , nous aurons pour le rapport numérique
Diag. D
Côté C
On peut donner au résultat la forme d’une proportion ; ainsi on dira
Diag. ; côté : ; : 1 ,
ou , approximativerpent ,
D ; G :: 14 : 10 :: 141 ; 100 :: 1414: 1000, etc.
907. Remerqne. Les rapports numériques étant destinés aux applications, doivent être, en général, calculés avec une grande exactitude. Ghacun prend ensuite le
^02 GÉOMÉTRIE PLANE. PL. 1k-
nombre de chiffres décimaux nécessaires , suivant la question particulière dont il s’occupe.
908. Problème. Un cercle et un quarré ont le même contour, on demande le rapport numérique de leurs sur- Jàces.
solation. Si nous désignons le côté du quarré par C , l’expression algébrique du rapport demandé sera
Cercle itR*
Quarré C*
Mais, puisque la circonférence du cercle est égale au périmètre du quarré , on doit avoir 2iîR = 4C ,
ce qui donne
et par conséquent
cette valeur de R’ étant portée dans l’équation (1) on obtient pour le rapport numérique demandé
quarré Ci’ X 7 t rr
Ainsi l’on voit, qu’à égalité de contour, la surface du cercle est beaucoup plus grande que celle du quarré.
909. problème. Un cercle et un quarré ont la même étendue en surface ; on demande le rapport numérique de leurs contours.
PL. 24. RAPPORTS KUMÉRIQUES. 403
Solution L’expression .Tlgébrique du rapport demandé sera
circonf. cercle
27tR
Te
ttR
périm. quarré Mais puisque les deux surfaces sont équivalentes, on a 7tR* = C*,
ce qui donne R =
N/tt jt
Celte valeur étant substituée dans l’équation (1) on obtient penm. 2C x t: 2
910. problème- Trouver le rapport numénque entre la circonférence du cercle et le contour du triangle équilatéral inscrit.
solntioii. Le côté du triangle inscrit est égal a R^3 (904) , par conséquent le contour vaut 3Rl^3 , mais la circonférence du cercle vaut 27tR , ainsi on aura , ])Our le rapport numérique ,
circonf. 2n\/3
périm. 3RV/3 3(/3 9
911. problème. Trouver le rapport numérique entre, la surface du cercle et celle de thexagone régulier circonscrit.
kOk
GÉOMÉTRIE PLAME.
soloHon. Si nous exprimons par C le côté de l’hexagone la surface sera — ~ — = 3CR ,
le triangle rectangle AOD , Jig. 8 , PI. 22 , donne
â5*=6d + âd’,
qui, dans le cas actuel devient
d'où C =
ainsi on a
3R X 2R 6R* surf, hexagone — ~ ,
mais la surface du cercle étant ttR*, on obtient pour le rafpport demandé
cercle ^
hexag. ^ * 1/3 6
912. problème. Trouver le rapport numérique entre les surfaces des cercles inscrits et circonscrits au décagone régulier.
solution. Fig. 16, PI. 22. Le rayon ducercle circonscrit étant exprimé par R, on a, pour le côté BC du décagone ,
mais le triangle rectangle ABD , donne la relation ÂD*=ÂB — BD;
en exprimant le rayon AD du cercle inscrit par r, et re-
or. c
marquant que BD ~ = 2 ’
PL. 2k.
nAProRra rumériques.
on obtient
d’où
/** «II
on aura donc pour le rapport demandé cercle circons. îtR* R* X 8 g
cercle inscrit
irr* R*(5 + l/5 2(5 j/g)
913. Problème. Trouver le rapport numérique entre le secteur de {^8 degrés , dans un cercle dont le rayon vaut 15 mètres , et le secteur de 60 degrés, dans un cercle dont le rayon vaut 8 mètres.
solntion. Si nous exprimons le premier secteur par S, et le second par S', nous aurons (618)
