T (8)* : sect. S
La première proportion donne
(1) 360S =48iî(15)*; la seconde proportion donne
(2) 360S' = 60îi(8)*;
divisant l’équation (1) par (2) on obtient
sect. S 48 X 225ît 45
sect. S' 60 X 64jr
914. Polyeonea réguliers. En divisant par R chacune des équations obtenues au numéro 904, on aura le rapport
406 GÉOMtTRU; PLANE. l'L. 24 .
numérique entre le côté du polygone régulier correspondant et le rayon du cercle circonscrit.
POLYGONES
IlfSCIUTS.
RAPPORTS NUMÉRIQUES
DES COt£s ad BATON.
Q narré
Octogone . . .
Triangle . . . .
Hexagone. . .
Dodécagone. .
c Ko — v/2
Décagone. . .
C 1 -f kH ^ = 2 =0,61803
Pentagone. . .
915. Corollaire. En multipliant chacun de ces nombres par R, on aura le côté du polygone régulier correspondant.
Ainsi, pour le côté du pentagone régulier inscrit dans un cercle dont le rayon serait 18 mètres, on aurait
PAPPORTS NUMÉRIQUES.
916. Rapport numérique de la circonférence an diamètre. Dans toutes les questions relalives à la circonférence et à la surface du cercle, nous avons fait usage du facteur tt , qui ex prime le rapport numérique de la circonférence au diamètre.
Nous avons admis pour ce nombre, la valeur obtenue par les géomètres qui se sont occupés de cette importante question. Mais nous ne pouvions pas exposer les moyens par lesquels on a calculé ce rapport, avant d’avoir établi les relations qui existent entre le cercle et les polygones inscrits ou circonscrits.
Parmi toutes les méthodes employées pour calculer le nombre n , nous choisirons la plus élémentaire, ce qui suffira pour faire comprendre par quelle série d’opéralions on a dû passer pour obtenir le résultat. Nous commencerons par résoudre la question suivante.
917. Problème. Étant données les surfaces p d’un polygone régulier inscrit, et P d’un polygone semblable circonscrit , trouver les surfaces p' et P' des polygones réguliers inscrits et circonscrits d un nombre de côtés double.
Solntlon. Nous remarquerons d’abord, fig. 3, que si dans un polygone régulier on construit les deux rayons OA, OB, on formera un triangle isocèle qui sera compris dans le polygone total autant de fois que l’angle AOB est compris dans quatre angles droits. Or, si Ion exprime par n le nombre des côtés du polygone, 1 angle AOB sera la «"■' partie de 4 angles droits, et le triangle AOB sera la partie du polygone.
Par conséquent, si l’on trace la perpendiculaire OD,
GÉOMÉTHIE PLAHE.
le triangle ÂOD , moitié de AOB , sera égal au polygone entier divisé par 2n.
D’après cela , supposons ifig. 4 , que ÂB soit le côté du polygone inscrit p', et que HK soit le côté du polygone circonscrit P, la corde AG sera le côté du polygone inscrit p\ et si l’on trace les deux tangentes AM, NB, on aura MN pour le côté du polygone circonscrit P'.
De plus , chacun des angles AOG, MON, étant égal à la 2n°“' partie de 4 angles droits, il s’ensuit que l'on a
triangle AOD = — ; triangle HOG = — ;
triangle AOG = — ; triangle MON = — .
Jàft
Ges notations étant admises , nous remarquerons que les deux triangles AOD, AOG, ont pour hauteur commune la droite AD, donc ils sont entre eux comme leurs bases , ce qui donne la proportion
