HOC : MON :: (AOC + AOD) : 2AOD
Remplaçant chaque terme par sa valeur, on a
2n In 2n 2n
GÉOMÉTBIE PLANE.
PL. üh.
P f :: P p' : , ce qui donne
918. corollaire. Les formules (1) et (2) permettent de calculer les deux polygones p' et P' lorsque l’on connaît les polygones et P.
Or, si nous concevons un cercle dont le rayon serait 1 , le quarré inscrit sera 2 et le quarré circonscrit sera 4- Par conséquent, si dans les formules (1) et (2) on remplace p par 2 et P par 4, les quantités p' et P' exprimeront les surfaces des octogones réguliers , inscrits et circonscrits.
En effectuant les calculs, on trouvera p' = j/2X 1 = 2,82842,
Si actuellement, et dans les mêmes formules, on remplace p et P par les deux nombres que nous venons de trouver, on obtiendra les surfaces des polygones réguliers inscrit et circonscrit de 16 côtés.
En effectuant les calculs, on trouvera
Ces deux polygones de 16 côtés serviront ensuite à calculer ceux de 32; ces derniers donneront les polygones de 61 , et ainsi de suite.
Voici le résultat du calcul prolongé jusqu’à ce que les cinq premiers chiffres décimaux soient communs aux deux polygones.
RAPPOHTS NUMKKIQUES.
NOMBRE
OKS CÔTÉS.
POLYGONES
IHSCUTS.
POLYGONES
aacoRscBiTs.
Si l’on inscrit successivement dans un cercle des polygones de 4, 8, 16, 32, etc., côtés, on remarquera, fig. 5, 1° que ces polygones augmenteront en surface à mesure que l’on augmentera le nombre de leurs côtés; 2“ que leur difiérence avec le cercle deviendra de plus en plus petite.
Si au contraire on circonscrit au même cercle des polygones de 4, 8, 16,32, etc. , ils s’approcheront encore du cercle, mais leur surface diminuera d’autant plus qu’ils auront un plus grand nombre de côtés.
Ces résultats sont mis en évidence par le tableau précédent, dans lequel on voit les deux polygones se rapprocher à mesure que l’on augmente le nombre de leurs côtés j mais comme le < ercle est toujours compris entre eux , il
s’ensuit évidemment que si l’on prend l’un de ces deux polygones pour la surface du cercle , l’erreur sera toujours plus petite que la différence qui existe entre eux.
Ainsi , par exemple , les deux polygones inscrit et circonscrit de 4096 côtés ne différant que dans les chiffres décimaux inférieurs aux cent-millièmes, on doit en conclure que le nombre 3,14159 exprime la surface du cercle à moins d’une unité décimale du cinquième ordre.
Notre but ici étant seulement de faire comprendre le principe, nous n’avons pas conservé les chiffres décimaux au delà du cinquième; mais en consultant les ouvrages spéciaux, on trouvera le nombre cherché, calculé jusqu’au cent quarantième chiffre décimal, ce qui excède de beaucoup les besoins de l’application.
919. Cor. II. Si nous exprimons par la lettre r, le nombre que nous venons d’obtenir, et par s la surface du cercle qui a tunité pour rayon , nous aurons
S = Tt
Exprimons actuellement par G la circonférence, et par R le rayon d’un cercle quelconque , la surface S de ce der-
CR
nier cercle sera
mais les surfaces des cercles sont comme les quarrés des rayons (632), on aura donc
qui devient en remplaçant 5 et S par leurs valeurs CR
d’où
CR C circonférence ' 2R* ~ 2R diamètre
Ainsi, le nombre ir que nous venons de trouver en
TRiaONOMtTRlE.
cherchant la surface d’un cercle dont le rayon = 1 , exprime en même temps le rapport numérique de la circonférence au diamètre pour un cercle quelconque.
