CHAPITRE IV

Trigonométrie rectiligne.

920. Définitions. La trigonométrie est la plus belle application que l’on ait faite des rapports numériques. Cette partie des mathématiques a principalement pour but d’exprimer les relations qui existent entre les angles et les cOtés des Bgures.

Les propriétés des lignes proportionnelles et du triangle rectangle, nous ont permis de résoudre toutes les questions qui dépendent du parallélisme et delà perpendicularité des lignes; mais jusqu’ici nous n’avons pas introduit les angles dans le calcul. En eilet , les côtés et les angles n’étant pas des quantités de même nature, il n’y avait pas moyen de les combiner directement.

On avait eu d’abord la pensée d’employer les rapports qui existent entre les côtés et les cordes des arcs de cercles qui servent de mesure aux angles; mais les inclinaisons de ces cordes dans tous les sens ont dû faire renoncer à ce dernier moyen, et l’on a fini par adopter les méthodes que nous allons développer.

921. Lignes trigonométrlqnes. Un angle MOX, ^5. 6, peut toujours être considéré comme provenant du mouvement d’une droite MO, qui se serait écartée d’une autre droite OX, en tournant autour d’un point commun, et, dans ce cas, il faut distinguer le côté mobile de celui qui est resté en place.

Par la même raison, l’arc XM qui sert de mesure à l’angle , sera engendré par un point mobile qui se meut en partant du point X pour arriver en M. Nous dirons donc que le point X est le commencement ou l’origine de l’arc XM , taudis que le point M en est l’extrémité.

Concevons actuellement, fig. 7, un cercle partagé en quatre parties égales par les deux diamètres XX', YY'.

Nous pourrons toujours supposer que la circonférence est engendrée par le mouvement d’un point qui , en partant du point X, aurait tourné dans le sens indiqué par la flèche.

Pour cette raison , le point X se nommera l’origine des arcs.

Le point Y sera torigine des compléments , parce que le complément d’un arc est sa diflérence avec un quadrant ou un quart de circonférence (57).

Ainsi , par exemple , si nous supposons que le point générateur soit arrivé en M.,Jig, 7, il aura décrit un arc XM qui aura pour complément YM.

Le point M sera l’extrémité commune à l’arc XM et à son complément YM.

Lorsque le point générateur sera parvenu en M', fig. 8, l’arc parcouru sera XYM', son complément sera YM'.

Enfin, si le point générateur était arrivé en M", /îÿ, 9,

PL. 1k.

TRIGONOMÉTRIE

r.irc serait XYX'M", et son complément YX'M", ainsi de suite.

Les conventions précédentes étant admises, on comprendra facilement les déBnitions des lignes trigonométriques.

Concevons , 7, la circonférence qui a pour centre

le point O.

Nous donnerons à cette circonférence le nom de cercle trigonométrique , et nous pourrons toujours supposer que le sommet de l’angle donné XOM, a été transporté au centre O du cercle, ou que l’on a transporté le centre du cercle sur le sommet de l’angle donné.

On doit toujours admettre aussi, que l’on a fait passer l’un des côtés de l’angle donné par le point qui représente l’origine des arcs, de sorte que le second côté contient le point M , qui est l’extrémité de l’arc XM.

Cela revient à considérer l’angle XOM comme produit par le mouvement du côté OM, qui se serait écarté du côté immobile OX. D’après cela nous dirons

922. Le sinus d’un angle ou de l’arc trigonométrique , compris entre les côtés de cet angle , est la perpendiculaire abaissée de l’extrémité de cet arc, sur le diamètre qui passe par l’origine.

Ainsi , la perpendiculaire MP sera le sinus de l’angle XOM ou de l’arc XM.

923. La tangente d’un angle ou d’un arc doit toucher cet arc à torigine , et se compte depuis ce point jusqu’à celui où elle rencontre le prolongement du rayon mobile OM.

Ainsi la droite XU sera la tangente de l’angle XOM, ou de l’arc XM.

91k. Il est très-important de remarquer que toutes les tangentes trigonométriques doivent toucher l’arc à son origine, et qu’elles diffèrent essentiellement des tangentes

géométriques , que nous avons toujours considérées comme infinies.

925. La sécante d'un angle ou d'un arc se compte sur le rayon mobile depuis le centre jusqu’au point où ce rayon prolongé rencontre la tangente.

Ainsi la droite OU est la sécante de l’angle XOM ou de l’arc XM.

926. On remarquera encore que la sécante trigonométrique est une droite déterminée quaut à sa longueur, et qu’elle aboutit toujours au centre, tandis que les sécantes géométriques sont infinies et peuvent traverser le cercle de toutes les manières.

927. Rotation. Pour simplifier l’expression des formules , nous désignerons par une seule lettre, l’angle ou l'arc trigonométrique compris entre ses côtés, ainsi nous dirons angle XOM = arc XM = a,

angle YOM = arc YM = b.

Enfin, au lieu de sinus, tangente, sécante, on écrit sin. tang. séc., ainsi on aura

MP — sin. XOM — sin. XM = sin. a ,

XU = tang. XOM= tang. XM= tang. a,

OU = séc. XOM = séc XM = séc. a.

Si nous appliquons les définitions précédentes à l’angle YOM, en prenant Y pour origine de l’arc YM, nous aurons MQ = sin. YOM = sin. YM = sin. b ,

YV = tang. YOM = tang. YM = tang. i,

OV = séc. YOM a= séc. YM = séc. b.

Or, l’angle b étant le complément de l’angle a, on a sinus b = sinus du complément de a , tangente b = tangente du complément de a , sécante b = sécante du complément de a ;

PL. 2k.

TKIGONOMETRIE.

mais, pour abréger on est convenu de dire M Q = cosinus a = cos. a ,

YV = cotangente a = cot. a ,

OV = cosécante a = coséc. a.

Ainsi en résumant, on aura

MP=sin. a. MQ = cos. a.

XU=tang. a. YV=cot a.

OU = séc. a. OV = coséc. a.

Pour exprimer le quarré du sinus, du cosinus ou de la tangente de a, on écrit ««.‘a, cos.’a, tang.'a.

928. Remarque. Souvent, pour ne pas tracer la droite 'MQ, on compte le cosinus depuis le centre jusqu’au pied du sinus, ainsi on aura

OP = QM = cos. a.

Par la même raison , on pourra dire QO = MP= sin a.

929. Dlconsslon. Les définitions précédentes s’appliquent à tous les arcs quelle que soit leur grandeur; il faut seulement remarquer que les sinus et les tangentes seront positives toutes les fois qu’elles seront au-dessus du diamètre XK', et négatives, lorsqu’elles seront au-dessous. Les cosinus et cotangentes seront positifs à droite du diamètre YY', et négatifs, lorsqu’ils seront à gauche.

Il résulte de cette convention, que pour l’arc XM,/?g. 7, toutes les lignes trigonométriques seront positives.

Mais s’il s’agissait de l’arc XYM',/îg. 8, son complément serait YM', et l’on aurait alors

sinus M'P' positif, cosinus M'Q' négatif, tangente XU' négative, cotangentc YV' négative.

GÉOMÉTHIE PLANE.

Pour l’arc XYX'M", /%. 9, le complément seraYX'M", et l’on aura

sinus M"P'' négatif, cosinus M''Q" négatif, tangente positive , cotangente YV"po5itiW.

Enfln, l’arc XYX'Y'M'", 10, aura pour complément YX'Y'M'", et l’on aura

sinus M"'P'" négatif, cosinus positif ,

langenteXU'" négative, cotangente YV'" négative.

930. Quant à la sécante, elle est toujours formée par le rayon mobile ou par son prolongement. Dans le premier cas, elle sera positive, et dans le second, négative. Ainsi, lorsque l’extrémité de l’arc sera situé dans le premier ou le quatrième quadrant, la sécante sera positiTe; dans le second et le troisième quadrant, elle sera négative.

Par la même raison , la cosécante sera positive dans le premier et le second quadrant, tandis qu’elle sera négative dans le troisième et dans le quatrième.

On remarquera encore que si l’angle que l’on considère était réduit à zéro , on aurait

sin. = 0 ; cos. = R ; tang. = 0 ; cot. = oo .

Si l’angle = 90“, on aura

sin. = R ; cos. = 0 ; tang. = ao ; cot. = 0.

Pour 180°, on aura

sin. = 0 ; cos. = — R ; tang. = 0 ; cot. = — oo .

Enfin , pour 270°, on aura

sin. = — R ; cos. = 0 ; fiing. = — oo -, cot. = 0.

Formules trigonométriques.

931. problème. Exprimer le sinus d’un arc en fonction du cosinus, et réciproquement.

TRIGONOMÉTRIE

solation. Fig. 1. Le triangle rectangle OPM donne

MP + 5p*= ÔM*

Si nous exprimons par a l’angle XOM ou l’arc XM, l’équation précédente deviendra

(1) sin.’a + cos.’a = R*; on en déduit

(2) sin.a =^/R* — cos.* a = |/(R + cos. a) (R — cos. a),

(3) cos. a= J/R* — sin.‘ a=t ^(R sin. a) (R — .sin. a).

932. Problème. Exprimer les relations qui existent entre les lignes trigonométriques d'un angle ou d’un arc a .

solution. Fig. 7. Les deux triangles rectangles OPM, OXU étant semblables , on a la proportion OP : PM :: OX ; XU.

qui devient cos. al sin. a R ; tang. a , d’où

. R sin. a

(4) tancr. a = .

^ ^ ® cos. a

Les mêmes triangles donneront