slnns et coslnns da anpplément d’on are- Le

supplément d’un angle ou d’un arc trigonométrique n’est pas la même chose qu’en géométrie. Ainsi, par exemple, si l’on ne considérait que la grandeur absolue, on pourrait dire que l’arc X'M ,Jig. 15, est le supplément de XM. Mais lorsqu’on exprime une relation de position , il faut avoir égard au sens de la génération de l’arc. Or, pour que deux angles a et & soient suppléments l’un de l’autre, on doit avoir a b = 180",

d’où i =r 180" — a.

Ainsi le supplément de XM sera 180 — XM. C’est-àdire qu’après avoir compté 180 à partir du point X, il faudra retrancher X'M' = XM , ce qui donnera Supplém. XM = 180" — XM = 180 — X'M' == XM'.

Donc le supplément de XM sera XM'. Or, on a MP = M'P',

d’où l’on conclura que deux arcs suppléments l’un de l’autre ont des sinus égaux et de même signe ; mais on a cos. XM = MQ , cos. XM' = M'Q.

Donc, lorsque deux arcs sont suppléments l’un de l’autre, leurs cosinus sont égaux, mais désignés contraires. Les formules des numéros (9) et (11) conduisent au

TRiaONOMÉTME.

PL. 2i.

même résultat. En eflet, si dans la première OQ fait a = 180% on aura

^ sin. 180 cos. b — sic. b cos. 180"

sin. (180" — b) — g =

0 X cos. b — sin. b X ( — R)

= g = sin. 6,

d’où sin. supplèm. de 6 =3 sin. b.

La seconde formule donne

, cos. 180 cos. b 4- sin. 180 sin. b cos. (180" — &)= J =

— R cos. i -f* ®

= g = — cos. b,

d’où cos. supplém. de 6 = — cos. b.

938. Remarqne. Nous pourrions continuer ainsi à exprimer les relations de toute espèce qui existent entre les lignes trigonométriques ; mais, quelque attrayante que soit celle étude, nous dépasserions le but de cet ouvrage si nous donnions trop d’extension à la recherche des formules. Celles qui précèdent suffisent pour faire comprendre ce qui nous reste à dire, et je craindrais qu’un plus grand nombre de combinaisons ne détournât l’esprit du lecteur des principes plus essentiellement utiles dans la pratique.

Construction des tables.

939. Tables des ll^es trigonométriques. Nous rappellerons d’abord que l’on est convenu de partager la circonférence du cercle en 360 degrés, chaque degré en 60 minutes , et chaque minute en 60 secondes.

GÉOMÉTRIE l’EANE.

D’après cela , supposons que dans un cercle dont le rayon serait pris pour unité , on soit parvenu à calculer trèsexactement le sinus d’une minute ; on portera le nombre obtenu dans la formule (3) , ce qui donnera

cos. 1' = J/R’ — sin.’ 1',

et puisque nous avons supposé que le rayon = 1 , nous aurons cos. l'= v/l — sin’* 1'.

Cette valeur étant calculée, les formules (12) et (18) donneront sin. 2' = 2 sin. l'cos. l',

cos. 2' = cos.’ 1' — sin.’ 1'.

Faisant ensuite a= 2'et i = l', les formules (8) et (10) donneront

sin. 3' = sin. (2'-|- 1') = sin. 2' cos. l' -f- sin. 1' cos. 2', cos. 3' = cos. (2' -f- 1') = cos. 2' cos. 1' — sin. 2' sin. 1'.

Les formules (12 et (13) donneront ensuite

sin. 4' = sin. (2 X 2') = 2 sin. 2' cos. 2', cos. 4' = cos. (2 X 2') = cos.®2' — ■sin.’2'.

Enfin les formules (8) et (10) donneront sin. 5'= sin. (3' + 2') t= sin. 3' cos. 2' -f- sin. 2' cos. 3', cos. 5' = cos. (3' -f- 2') = cos. 3' cos. 2' — sin. 3' sin. 2', et ainsi de suite.

Lorsque tous les sinus et cosinus seront calculés, les formules (4), (5), (6) et (7) donneront les tangentes , cotangentes, sécantes et cosécantes des arcs correspondants, et tous ces nombres , placés en colonnes, formeront les tables des lignes trigonométriques.

On voit donc qu’il sufBra de connaître une seule ligne trigonométrique pour être en état de calculer toutes les autres, et que le reste est une affaire de persévérance.

.La seule difficulté sera d’obtenir le sinus d’une minute que nous avons supposé connu; or, le sinus d’un arc étant évidemmentlamoitié de la corde qui sous-tend unarc double, on pourra toujours obtenir un premier sinus en divisant par deux l’une des formules du numéro 904.

PL. 24. TBICONOMKTRIE. 427

Ainsi, par exemple, le côté de l’hexagone ou la corde de 60 degrés étant égale à R , on aura

sin. 30“ = - = - = 0,50000.

Le sinus de 30“ étant connu , la formule (3) donne le cosinus de 30“. Les formules (14) et (15) donneront lessinus et cosinus de 15“. Ces dernières lignes étant connues , on emploiera les mêmes formules pour déterminer les sinus et cosinus de 7“ 30'. Ensuite on cherchera les sinus et cosinus de 3“ 45', et ainsi de suite. Or, en calculant toujours ainsi les sinus et cosinus des arcs moitiés , on finira par arriver au sinus de 1' 45", 46875; mais lorsque les sinus deviennent très-petits, ils sont sensiblement proportionnels aux arcs correspondants, et comme l’on connaît très exactement tous les arcs de cercle, puisque le nombre n est calculé jusqu’au delà du cent quarantième chiflre décimal, on pourra établir cette proportion arc 1' 45", 46875 ; arc 1' sin. 1' 45",46875 : sin. 1'.

L’erreur commise dans ce cas serait tout à fait insignifiante pour la pratique.

Au surplus, les tables trigonométriques sont tellement utiles dans les applications, que les géomètres ont dû chercher les moyens d’en perfectionner la théorie. On a trouvé des formules qui permettent d’accélérer considérablement le travail , et ce qui précède a seulement pour but défaire comprendre comment les lignes trigonométri.. ques peuvent être déduites les unes des autres.

Je renverrai donc aux ouvrages spéciaux pour tous les détails de ces travaux importants, et je me bornerai pour le moment à expliquer la disposition et l’usage des tables,

940. Tables de loerarithmes des llflrnes trigonomé» trfqaes. Dans 1a plus grande partie des applications , on

n’emploie pas les nombres qui expriment les râleurs des lignes Irigonométriques ; ces quantités représentant presque toujours les côtés de triangles semblables à ceux que l’on cherche, se combinent dans le calcul par multiplication ou division, et, dans ce cas, il est beaucoup plus simple d’employer leurs logarithmes. Pour éviter alors la double recherche du nombre qui exprime la longueur de la ligne, et du logarithme de ce nombre, on n’écrit ordinairement que le logarithme. Ainsi, par exemple, dans une table usuelle , si l’on jette un coup d’œil sur la colonne en tête de laquelle est placé le mot sinus, on ne trouvera pas les nombres qui expriment les valeurs de ces lignes, mais seulementleurslogarithmes.il en est de même des cosinus, tangentes et cotangentes.

9H . Disposition des tables. Lorsque l’on eut calculé les longueurs de tous les sinus et cosinus, depuis 0 jusqu’à degrés, il n’a pas été nécessaire de continuer. En eflet, les lignes Irigonométriques de tous les arcs audessus de sont évidemment les mêmes que les lignes Irigonométriques des arcs au-dessous. Il suffit de se rappeler que le sinus d’un arc est le cosinus de son complément, et que le sinus du complément est égal au cosinus de l’arc.

Cette remarque a fait imaginer une disposition extrêmement ingénieuse. Ainsi, lorsqu’on est arrivé, dans la table, à l’arc de 45 degrés, on a rétrogradé, en plaçant au bas des pages les nombres de degrés que l’on avait mis en haut, pour tous les arcs au-dessous de 45 degrés. Il faut donc se rappeler qu’au-dessous de 45°, le nombre de degrés de l’arc dont on cherche le logarithme, est placé en tête de la page, et les minutes dans la première colonne à gauche , et en descendant ; tandis que pour les arcs au-dessus de 45°, le nombre de degrés est placé en

TRIGONOMETHIE.

bas de la page, et les minutes dans la dernière colonne à droite et en montant.

Par suite de cette convention, on trouvera le même nombre lorsque l’on cherchera, par exemple, le sinus d’un arc ou le cosinus de son complément; ou bien lorsque l’on cherchera la tangente d’un arc ou la cotangente de son complément.

Ainsi, par exemple, l’arc 37° 18' ayant pour complément 52° 42', on trouverait le nombre 9,78246, en cherchant sin. 37° en tête de la page, et les 18' dans la première colonne à gauche; et l’on trouverait encore le même nombre en cherchant cos. 52 au bas de la page, et 42' dans la dernière colonne à droite.

942. Rayon dea tables. Tous les sinus et les cosinus étant plus petits que le rayon, chacune de ces lignes ne peut être exprimée que par une fraction dont le logarithme est toujours négatif. Pour éviter l’embarras qui résul terai t pour les calculs d'un si grand nombre de signes — , on a multiplié tous les nombres obtenus par 10 000000 000, ce qui revient à supposer que le rayon du cercle trigonométrique est égal à 10 000 000 000 d’unités. Par suite de cette convention les sinus et les cosinus des angles employés dans la pratique , ne seront jamais plus petits que l’unité , et leurs logarithmes seront toujours positifs.

Ainsi, lorsqu’une formule de trigonométrie est employée comme faisant partie du langage algébrique, le rayon =1; mais, dans les calculs par logarithmes, le rayon = 10 000 000 000, et par conséquent son logarithme = 10.

Le rayon des tables est donc un rayon d’une grandeur quelconque, mais que l’on suppose toujours partagé en 10 000 000 000 de parties égales.

Ainsi les nombres qui représentent les lignes trigonométriques ne sont autre chose que les rapports numéri-

GÉOMÉTKIE PLANE.

Pt. 24.

ques qui existent entre ces lignes et le rayon dont la longueur absolue est tout h fait arbitraire.

943. Tangente de 45°. Si l'angle XOM , 16, vaut 45°, ou un demi-angle droit, le triangle OXU sera isocèle, et l’on aura XU = OX , ou, ce qui revient au même,

tang. 45° = R

d’où log. long 45° = log. R = 10.

Par conséquent , toutes les fois qu’un angle ou un arc sera plus grand que 45°, sa tangente sera plus grande que R, et le logarithme de cette tangente sera plus grand que 10.

Il est utile de se rappeler cette remarque, parce que, pour ménager la place dans les tables de logarithmes , on n'écrit pas ordinairement les disaines d’unités pour les caractéristiques des logarithmes des tangentes au-dessus de 45°, ou des cotangentes au-dessous. Ainsi lorsque l’on trouve dans la table

log. tang. (87° 14') = 1,31583, il faut lire log. tang. (87° 14') = 11,31583.

Par la même raison on aura

log. cot. (12° 18') = 10,66147.

Je suppose ici que le lecteur a entre les mains les tables de logarithmes de Lalande, h cinq décimales. S’il veut plus d'exactitude , il prendra les tables de Gallet.

944. Logarithme du sinus do supplément. Nous avons dit que deux angles ou deux arcs supplémentaires ont le même sinus; par conséquent, pour trouver dans la table le logaritme du sinus d’un angle obtus, il faut d’abord calculer son supplément, ainsi on aura

log. sin. 138° = log. sin. (180° — 138°) = log. sin. 42.

TKIGONOMÉTRIC.

Calcul des triangles.

945. Théorème. Dans tout triangle rectangle, le rayon est au sinus de Cun des angles aigus, comme [hypoténuse est au côté opposé à cet angle aigu.

Démonstration. Fig. 12. Du point B, comme centre, avec un rayon quelconque BX, que nous pouvons toujours considérer comme le rayon des tables (942), décrivons l’arc XM , et traçons la perpendiculaire MP, nous aurons BM; MP :: BC; CA,

qui devient , en adoptant la notation ordinaire (249) ,

R : sin. B :: a : b.

Si nous supposons , ce qui est permis, que l’on remplace la lettre B par C , le côté b devra être remplacé par c, et l’on aura par conséquent

R ; sin. C :: a ; c.

Ainsi le théorème sera exprimé complètement par les deux proportions

(1) R : sin. B :: a : ô

(2) R : sin. C :: a : c.

946. Théorème- Dans tout triangle rectangle le rayon est à la tangente d’un angle aigu , comme le côté adjacent à cet angle , est au côté qui lui est opposé.

Démonstration. Fig. 13. Si nous traçons la perpendiculaire XU, les deux triangles BXU, BAC, seront semblables et l’on aura la proportion

BX : XU :: BA : AC, qui devient R t tang. B c .' ô;

remplaçant B par G et & par c , on aura R ; tang. C ; : i ; c ,

elle théorème sera exprimé par les proportions

(3) R ; tang. B :: c : 4

(4) R : tang. C :: b : c.

Calcul des triangles rectangles.

947. Triangles rectangles- Les deux théorèmes précédents suffisent pour calculer tous les triangles rectangles; pour cela , on choisit dans chaque cas , parmi les formules (1), (2), (3) et (4), la proportion dans laquelle la quantité demandée est la seule inconnue. Nous allons éclaircir cela par quelques développiements. Nous rappellerons d’abord que pour déterminer un triangle il faut donner trois de ses parties, parmi lesquelles il doit y avoir au moins un côté (253). Or, dans un triangle rectangle, l’angle A étant toujours connu il ne reste plus que deux données arbitraires, ce qui réduit la question à deux cas principaux, savoir ; 1° Lorsqu’on connaît un angle avec un côté ,

2® deux côtés.

Le premier cas donne lieu à trois problèmes , dans lesquels on a pour données ,

1° Un angle aigu et l’hypoténuse;

2“ Un angle aigu et le côté opposé;

3° Un angle aigu et le côté adjacent.

Le second cas donne lieu à deux problèmes , dans lesquels les données sont :

1* L’hypoténuse et fun des côtés de l’angle droit;

2® Les deux côtés de Sangle droit.

Cela fait donc en tout cinq problèmes.

PI-. 24- TRIGONOMÉTRIE. 433

948. Premier problème. Étant donnés un angle aigu et l’hypoténuse , calculer toutes les autres parties du triangle.

Nous disposerons les quantités données et les résultats de la manière suivante :

ANGLES ET COTÉS

DONNÉS

CALCDLÉ8.

solation.' Dans tout calcul de triangle, il faut commencer par les angles ; ainsi nous dirons

Le théorème 945 donne ensuite

R : sin. B a : b,

qui devient R : sin.(38“ 42') ;; 8432'” xb ,

J, , 8432X sin. (38“42')

dou b = i,

et par conséquent

log. b = log. 8432 + log. sin. (38“ 42') — log. R. Calcul.

log. 8432 = 3,92593 log. sin. (38“ 42') = 9,79605

13,72198 log. R = 10

log. b = 3,72198 = log. 5272,05.

log. R.

Calcul.

log. 8432 = 3,92893 log. sin. (81“18') = 9,89233

13,81826 log. R = 10

; log. c = 3,81826 = log. 6580,81.

Donc c = 6880", 51.

949. Remarque. Dans cet exemple et dans ceux qui suivent, les côtés des triangles ont été calculés jusqu’aux centimètres au moyen de la proportion des dilférences. Mais ce travail peut toujours être évité dans la pratique, en faisant usage des tables de Gallet , dans lesquelles les (lifiérences sont calculées d’avance.

950. Deuxième problème. Etant donné un angle aigu avec le côtè'opposè .

]^ous prendrons pour données les parties du triangle précédent, afin que chaque problème puisse servir de vérification à tous les autres.

434 UEOMCTRIE PLANE.

Donc b = 5272",05.

Le même théorème donne ensuite

R : sin. C fl : c ,

qui devient R : sin. (51® 18') 8432 ; c ,

8432 X sin. (51® 18') d’où c= ,

et par conséquent

log. c = log. 8432 -f- log. sin. (51® 18') —

THieONOMÉTRlE.

Solation. On aura d’abord

Le théorème 945 donnera ensuite

qui devient d’où

R ; sin, B ;; a ;

R : sin. (38° 42') :: a : 5272,05, 5272,05 X R sin. (38° 42')’ •

et par conséquent

lofç. a = log. 5272,05 -)- log. R — log. sin. (38° 42').

Calcul.

log. 5272,05= 3,72198 log. R =10

log. sin. (38° 42')= 9,79605

log. a= 3,92593= log. 8432 Donc a = 8432 mètres.

On calculera c en opérant comme pour le problème précédent, ou bien on emploiera l’une des proportions données par le théorème 945.

k36 ÜÉOMÉTHIE FLANE. PL. 24.

951. Troldème problème. Étant donnés un angle aigu et le côté adjacent.

ANGLES ET COTÉS

DosnÉs.

CALCDliS.

solotion- On aura

On calculera ensuite le côté c avec la proportion (2) , et le côté b avec l’une des proportions (1) (3) ou (4).

952. Quatrième problème. Étant donnés l’hypoténuse et l'un des côtés de l’angle droit.

ANGLES ET COTÉS j

DOHII&.

CALCU1.É8.

TRIGONOMETRIE.

Solntton. Le théorème 945 donnera d’abord R ; sin. B a : i

<jui devient R l sin. B •• 8432 I 5272^05 ^

d'oh siu.B = ^ ,

et par conséquent

log. sin. B = log. 5272,05 -}- log. R — log. 8432.

log. 5272,05= 3,72198 log. R = 10

13,72198 log. 8432 = 3,92593

log. sin. B= 9,79605 =log. sin. (38* 42') Donc B = 38° 42'.

On fera ensuite

C = 90° — (38° 42') = 51° 18', et l’on calculera c comme dans les problèmes précédents.

953. cinquième problème. Étant donnés les deux côtés de l'angle droit.

438 GKOMÉTIIIE PLANE. PL. 24.

Solution. Le théorème 946 donnera R ; tang. B c ; b,

qui devient R : tang. B :: 6580,51 : 5272,03,

a ou tang. B = — — — ,

et par conséquent

log. tang. B = log. 5272,05 -f- log. R— log. 6580,51.

log. 5272,05= 3,72198 log. R = to

13,72198 log. 6580,51* = 3,81826

log. tang. B = 9, 90372 = log. tang. (38° 42') Donc B = 38° 42'.

On fera ensuite

et I on calculera 1 hypoténuse a par l’une des proportions du théorème 945.

XXH.

954. ‘Théorème. Dans un triangle quelconque , les sinus des angles sont entre eux comme les côtés opposés à ces angles.

Démonstration. Fig. 14. Si nous traçons la perpendiculaire CD , nous décomposerons le triangle donné en deux triangles rectangles CDA , CDB; or le théorème 945 appliqué au triangle rectangle CDA donnera

R : sin, CAD AC ; CD,

TKIGONOMÉTRIE.

mais le côté AC n’est autre chose que é, puisqu’il est opposé à l’angle B ; on aura donc

R : sin. A é : CD, d’où b. sin. A = R. CD.

Le même théorème appliqué au triaugle rectangle CDB donnera la proportion

R : sin. CBD :: BC : CD, qui devient R : sin. B :: a :CD, d’où R. CD = a. sin. B ;

multipliant cette équation par la précédente^, et transformant on obtient la proportion

(5) sin. A : a :: sin. B : b.

£n abaissant la perpendiculaire du point B , on aurait

(6) sin. A : a :: sin. C : c. Enfin,

en abaissant la perpendiculaire du point A, on aurait

(7) sin. B ; è sin. C : c.

955. Tbéorème. Dans tout triangle., la somme de deux côtés est à leur différence comme la tangente de la demisomme des deux angles opposés à ces côtés, est à la tangente de la demi-différence de ces mêmes angles. Démonstration. La proportion (5) donne a ; é :: sin. A : sin. B , d’où, eu composant,

(o -f i) : (a — b) (sin. A -j- sin. B) : (sin, A — sin. B), que l’on peut écrire de la manière suivante a sin. A sin. B

a — b sin. A — sin. B

Mais on peut toujours concevoir deux arcs ou deux angles X et y, dont la somme serait A et la différence B , ce qui donnera x-\-y=\,

Ajoutant ces deux équations, on aura

A-fB

2j: = A B , d’où x = — ^ — .

Retranchant au contraire la seconde équation de la première, on obtient

2y = A — B , d ou y = — - — .

De plus , on aura

sin. A -|- sin. B sin. (x -f-r) + sin. {x — y) sinA — sin. B sin. (x-f-y). — sin. (x — y)' le second membre développé par les formules (8) et (9) du numéro 93i , devient

sin. X cos.^ + 8>u.^ cos. x sin. x cos.^ — cos. x R R ~

sin. X cos. y -|- sin.j^ cos. x sin. xcos.y — sin. j cos. x R R

ou, après toutes réductions,

sin. X cos. y R sin. x cos. y R sin. x cos. y

cos. X sin. y R cos. x sin. y cos. x R sin/

R sin. X R sin. y tanc. x

cos. X cos. y lang. y

On aura par conséquent

sin. A -f- sin. B tanir. x

sin. A — sin. B tang.

Remplaçant x et par leurs valeurs ( — ^ — j et

TRIGONOMETRIE.

tang. X lang. y

Enfin, multipliant entre elles les trois équations (m), (n) , (m) , et réduisant , on obtient

Changeant les lettres , on a