Tbéorâme. Dans tout triangle on a
cos. 2 = \/ •
La lettre/» représente le demi-périmètre (897). solntion. Nous avons trouvé au numéro 936
a \ /R’ -f-Rcos. a
GÉOMÉTaiE PLtNE.
Remplaç.'int a par A , ce qui est permis, nous aurons
^ \ /R* + Rcos. A
(m) cos. -=y/ ^ .
Mais le théorème du numéro 704 étant appliqué au triangle BAC , fiÿ. 14 , donne
(«) a* = i’ c* — 2co:.
Le théorème 945 étant appliqué au triangle rectangle CAD , donne R ; sin. ACD AC : AD , qui devient R : sin ACD :: b x,
J, . sin. ACD
mais l'angle ACD étant le complément de l’angle A , on a sin. ACD = cos. A, h. cos. A
par conséquent
qui , étant substitué dans l’équation (n) , donne
2ÔC.COS. A
Transformant cette dernière équation, on obtient suc- 2ic.cos. A
cessivement
cos. A =
R(è«-|-C« — g») Ihc
Multipliant [es deux membres par R , ajoutant R* de chaque côté, et divisant par 2, on a
R’.+ Rcos. A R* R»(ô*-f c»— a»)
2 “ 2 \hc ~
4ôc 4ÔC
PI-- 24. TBIGONOMÉTRIE. ^(3
^bc \bc
R*p (jp — g)
bc
Prenant la racine quarrée, on obtient
Enfin, multipliant par l’équation (m) , et réduisant ,
on a
cos.
Si I 'on change les lettres , on obtiendra
V ac
cos.
cos.
957. calcul des trlangrles obliquangles. Les trois théorèmes précédents suffisent pour calculer tous les triangles, y compris ceux qui sont rectangles; cependant, pour ces derniers , il sera plus simple d’employer les théorèmes 91^5 et 946 parce que l’un des facteurs étant égal au rayon, cela évite la recherche d’un logarithme.
La solution des triangles obliquangles st réduit à trois cas principaux , savoir, lorsque l’on connaît :
1“ Deux angles et un côté ;
2° Un angle et deux côtés;
3“ Les trois côtés.
Le premier cas donne lieu à deux problèmes dans les- (]uels on a pour données :
1» Deux angles et le côté opposé à l’un d’eux ;
2* Deux angles et le côté qui leur est adjacent.
Le second cas donne également lieu à deux problèmes dans lesquels les données .sont :
1° Un angle, le côté qui lui est opposé, et l’un des côtés adjacents ;
2° Un angle et les deux côtés qui le comprennent.
Enfin le dernier cas ne' donne lieu qu’à un seul problème dans lequel on connaît les trois côtés.
Cela fait par conséquent cinq problèmes.
958. Premier Problème. Étant donnés deux angles et le côté opposé à T un d’eux.
ANGLES ET COTÉS
DONNÉS
CALCULÉS
Solation. somme des trois angles d’un triangle étant égale à 180 degrés, on aura
Le théorème 954 donnera ensuite
sin. A : a :: sin. B : qui devient
sin. (43° 35') : 2457 :: sin. (24° 7') : b.
THIGONOMÉTHIE.
„ . 2457 X sin. (24» 7')
(1 ou b = : .
sin. (43° 35') ’
et par conséquent,
log. i = log. 2457 + log.sin. (24°7') — log. sin. (43° 35') Calcul.
log. 2457= 3,39041 log. sin. (24° 7')= 9,61129
log. sin. (43» 35') = 9,83848
log. b = 3,16322 = log. 1456,19 Donc A = 1456”, 19.
Pour calculer le côté c, ou emploiera la proportion
sin. A : a sin. G : c, qui devient sin. (43» 35') : 2457 :: sin (112° 18') : c,
,, . 2457 X sin. (112» 18')
ÜÏÏT(4F35) ’
et par conséquent
%. c= log. 2457+log. sin. (112» 18') —log. sin. (43»35').
Calcul.
On doit se rappeler d’abord que le sinus d’un nombre est le même que celui de son supplément, c’est pourquoi au lieu de chercher le logarithme du sinus de (112» 18'), que l’on ne trouverait pas dans la table , on cherchera celui de 67» 42', ainsi on écrira
log. 2457= 3,39041
log. sin. (67» 42’)= 9,96624 = log. sin. (112» 18') 13,35665
log. sin. (43° 35')= 9,83848
log. c= 3,51817 = log. 3297,38.
Donc c = 3297™, 38.
