PI

CIRCOnF£R£NCE.

angle aigu , puisqu’il est égal à la moitié de l'angle AOB, qui est plus petit que deux angles droits.

Tout angle inscrit dans le segment ASB, plus petit que la moitié du cercle , sera un angle obtus , puisqu’il vaudra la moitié de la somme des deux angles AOK-{- KOB, laquelle somme est évidemment plus grande que deux angles droits.

199. cor. IX. Fig. 2. Tout angle inscrit dans le segment ASB, est le supplément de l’un des angles inscrits dans le segment AGDHB , car on a :

ÂDB =

AOB

asb^aok±^

- Ajoutant et réduisant, on obtient :

Adb | ^SB — ^ angles droiu

= 2 angles droits.

200. oor. X. Fig. 1. Dans un quadrilatère inscrit, la somme des angles opposés vaut toujours deux angles droits , car on aura , par le théorème précédent :

ADB 4- ASB = 2.

En traçant la diagonale DS on aurait de même :

DAS + DBS = 2.

201. Théorème. Fig, Z. L’angle , formé par les deux tangentes AB, AC, est le supplément de l’angle BOC, formé par les rayons qui aboutissent aux points de tangence.

Démonstration- La somme des angles du quadrilatère âBOC vaut quatre angles droits ; mais on a (tSS) :

ABO -|- OCA = 2 droits , par conséquent on aura :

BAC + BOC = 2 droits.

202. corollaire. Le triangle BOC étant isocèle , les angles OBC, OCB, sont égaux, donc leurs compléments ABC , ACB , sont égaux , et le triangle ABC est isocèle. Ainsi les deux tangentes AB, AC, sont égales.

203. Théorème. Fig. 4. Si les points A, B, C, D, partagent la circonférence en parties égales , le polygone inscrit ABCDH, etc., sera régulier.

Démonstration. Les cordes AB, BC, CD, sont égales , puisqu’elles sous-tendent des arcs égaux (175). Les droites AO, BO, CO, sont égales comme rayons d’un même cercle; donc les triangles isocèles AOB, BOC, COD, etc., sont égaux entre eux. Par conséquent, les angles ABC, BCD , CDH , sont égaux , et le polygone , ayant ses angles et ses côtés égaux , on peut en conclure qu’il est régulier.

204. Corollaire. La diQérence entre le polygone et le cercle se compose de tous les segments compris entre les cordes et les arcs sous-tendus ; cette difierence sera d’autant plus petite que le nombre des côtés sera plus grand , et deviendrait nulle si le nombre de ces côtés était infini, c’est pourquoi on peut considérer le cercle , comme un polygone régulier qui aurait un nombre infini de côtés.

205. Théorème. Fig. 4. Si par chacun des points A , B, C, eic., placés à égale distance sur la circonférence d’un

CIRCONFÉAEIfCE.

cercle , on construit une tangente , le polygone formé pattoutes ces droites sera régulier.

Démonstration. Les triangles ÂBK, BCH, sont isocèles (202); de plus, ils sont égaux, puisque leurs bases AB, BC , sous-tendent des arcs égaux ; donc les angles aux points K, H, V, seront égaux. On aura donc ;