KB + BH = HC+CV

ou ce qui est la même chose ,

KH = HV.

Par conséquent le polygone KHVM , ayant ses angles et ses côtés égaux , sera régulier.

206. corollaire I. Fig. 5. Si les côtés du polygone extérieur touchent le cercle au milieu des arcs sous-tendus par les côtés du polygone intérieur, les côtés de ces polygones seront parallèles , car la tangente KH et la corde AB seront toutes deux perpendiculaires sur le rayon qui aboutit au point de tangence P.

207. cor. II. Les sommets du polygone extérieur sont situés sur les prolongements des rayons qui aboutissent aux sommets du polygone intérieur. En effet, les arcs AB, BG , étant égaux, on aura PB, moitié du premier arc, égal à BQ , moitié du second. Le rayon OB sera donc perpendiculaire sur la corde PQ, et passera, par conséquent par le point H , puisque le triangle PQH est isocèle (202).

208. cor. III. Si l’on augmentait en même temps le nombre des côtés des deux polygones , ils se rapprocheraient du cercle, qui cependant serait toujours compris entre eux , et les trois Ggures se confondraient si le nombre des côtés des deux polygones devenait infini.

209. Théorème. Fig. 6. Étant donné un polygone régulier, il est toujours possible de tracer deux circonfé-

GÉOMÊTRU FLANE.

Pt. l.

rences e^ant le même centre que le polygone, et dont V une passerait par tous les sommets, tandis que la seconde serait tangente à tous les côtés. .

Déinonstratlon. On a tu (15&) que tous les sommets d’un polygone régulier sont à égale distance d'un point intérieur O, il est donc évident que ce point sera le centre d’un cercle dont la circonférence passerait par tous les sommets du polygone donné ; mais tous les cdtés de ce polygone étant égaux , ils seront à égale distance du point O (177) , par conséquent la circonférence du cercle, qui aurait pour rayon 01, devra passer par les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées du point O sur les côtés , qui seront alors tangents au deuxième cercle , puisque chacun d’eux sera perpendiculaire à l’extrémité d’un rayon.

On dit alors que le premier cercle est circonscrit au polygone , et le second cercle est inscrit.

210. Théorème. Fig. 7. Lorsque deux cercles se coupent , la droite CO , qui passe par tes centres, est perpendiculaire sur la corde AA’, qui joint les deux points d’intersection.

Démonstration. Le point G , comme centre du premier cercle, est à égale distance des points A et A'. Le point O, centre du second cercle, est aussi à égale distance des mêmes points, par conséquent, la droite qui joint les deux points C et O, est perpendiculaire an milieu de la corde AA' (H2).

21 1 . Corollaire. Si l’on joint les centres des deux cercles avec l’un des points de section, on aura un triangle ACO; mais on sait que dans un triangle un côté est toujours plus petit que la somme des deux autres, par conséquent on aura

Fl., k. CiaCONFÉBEHCE. . 47

GO <<CÂ -f- AO , c’est-à-dire que la distance des centres est plus petite que la somme des rayons ; mais on a de plus AC < AO -|-.CO ; d’où l’on tire , en retranchant AO de chaque c6té, AC — AO<;CO, on, en .renversant l’inégalité, CO ^ AC— AO ; donc la distance des centres doit être plus grande que la diflérence des rayons.

Ainsi, en général, pour que deux cercles se coupent , il faut que la distance des centres soit plus petite que la somme , et plus grande que la différence des rayons.

212. Tbéorème. Fig. 8. Deux cercles sont tangents l’un à l’autre lorsqu’ils ont une tangente commune.

Le point de tangence et les centres sont toujours situés sur une même ligne droite perpendiculaire a la tangente.

Démonstration. La droite MN , est une sécante commune aux deux cercles qui ont leurs centres en G eten O. Si l’on suppose que ce dernier centre prenne successivement les positions O', O", les points A et A' se rapprocheront , la sécante MTî deviendra successivement M'N', M"N" sans cesser d’être perpendiculaire sur la droite CO , et lorsque les deux points de section seront réunis en A", la droite M"N'' sera une tangente commune aux deux cercles, et les deux cercles eux-mêmes se toucheront.

On arriverait au même résultat en supposant, par exemple, que le cercle qui a son centre au point U, tourne autour du point B. Dans ce mouvement, le centre U , du cercle mobile , devient successivement D', ü", le second point de section B' se rapproche du premier, la sécante VU tourne autour du point B sans cesser d’être perpendiculaire sur la ligne des centres, et lorsque les deux points de section sont réunis , la droite V'U' est une tangente commune.

GÉOMÉTIUE PLANE.

213. corollaire I. Lorsque deux. cercles se touchent, fig. 8, la distance des centres CO" est égale à la somme des rayons CA" -j- A”0".

214. cor. IL Si l’un des cercles touchait l’autre intérieurement , fig. 9 , on aurait CO = AC — AO , c’est-àdire qu’alors la distance des centres serait égale à la différence des rayons.

215. Théorème. L’angle formé par deux arcs de cercle est le même que l’angle formé au point d intersection par les tangentes à ces deux arcs.

Démonstration. La tangente à un arc de cercle, pouvant être considérée comme le prolongement de la corde infiniment petite qui se confond avec cet arc, il s’ensuit que l’angle formé au point S , fig. 7, par les deux tangentes SB', Siy, exprime l’inclinaison suivant laquelle les deux arcs SB, SD, se rencontrent.

216. Corollaire I. Si l’on faisait tourner l’arc SB autour du point S, l’angle formé par les deux tangentes pourrait passer par tous les états de grandeur, cet angle diminuerait à mesure que les deux points de section se rapprocheraient, et lorsque ces deux points seraient réunis , les deux tangentes n’en feraient plus qu’une seule qui serait commune aux deux cercles.

217. Cor. n. Si la tangente CK à l’un des deux arcs de cercle contient le centre de l’autre , on en pourra conclure que les deux tangentes , et , par conséquent , les deux arcs correspondants se rencontrent à angles droits (185).