Réciproquement, si dans un quadrilatère, les cô

tés opposés , ajoutés deux à deux , forment des sommes •

égales , on pourra faire passer un cercle par les quatre sommets. En effet , admettons que l’on ait.

BD + MZ = RM 4- DZ ,

et supposons que le cercle tangent aux trois droites MB ,

BD et DZ , coupe le quatrième côté MZ , on pourrait construire la tangente MN , et l’on aurait alors (326)

BM -f DZ 4- ZN = BD + MN.

Ajoutant les deux équations et réduisant, il viendrait MZ + ZN = MN ;

ce qui ne peut avoir lieu que si NZ est nul , et dans ce cas le quatrième côté du quadrilatère se confondrait avec MN, et serait par conséquent tangent au cercle qui touche les trois côtés MB , BD et DN.

Si les conditions énoncées (327) ont lieu, il ne reste plus qu’à construire le cercle tangent à trois côtés quelconques du quadrilatère donné (319).

ntOMÊTRIE PLANE.

Pt. 8.

328. Problème. Inscrire un cercle dans un polygone, régulier.

Solntion. On déterminera le centre par l’un des moyen» indiqués au numéro 306, puis on construira l’apothème qui sera le rayon du cercle cherché (272).

On fera bien de s’assurer que les points de tangence .sont exactement au milieu des côtés.

329. Problème- Construirê une droite tangente à deux cercles donnés.

Solution. Nous remarquerons d’abord, fig. 1, Pi. 8, que l’on peut en général construire quatre droites qui satisfont h la question proposée. Ces droites se rencontrent deux à deux sur la ligne des centres.

Nous nommerons tangentes externes celles qui touchcnl les cercles donnés eu deux points situés du même côté par rapport à la ligne des rentres , et tangentes internes, lorsque les deux points de tangence sont de côtés dillérents.

330. Construction des tangentes externes, fig. 2. 1» Du point O comme centre , avec un rayon OM égal à la différence des rayons des deux cercles donnés, on décrira la circonférence IVICN ; 2° on construira (285) les deux droites AM , AN, tangentes à cette circonférence ; 3° on tracera les deux rayons OH , AK , perpendiculaires à la tangente AM , et les deux rayons OV, AU , perpendiculaires sur AN. Les points K et H détermineront ta tangente HK , et les points U et Y déterruineront la tangente VU. En ellet, OM étant la <liüércnce des rayons des deux

ri>. 8 .

PROBLÈMES

cercles donnés, il s’ensuit que HM = ÂK. De plus, ces deux lignes, perpendiculaires sur AM, sont parallèles, et le quadrilatère AKHM est un parallélogramme (151); donc les rayons AK , OH , perpendiculaires sur AM , sont également perpendiculaires sur la droite KH, qui par conséquent est une tangente commune aux deux circonférences données. Il en sera de même de la droite UV/

331 . Construction des tangentes internes, Jig. 3. On décrira du point O la circonférence MON avec un rayon OM égal à la somme des rayons des deux cercles donnés ; 2° on construira les deux droites AM, AN , tangentes à la circonférence MON; 3° on tracera les deux rayons OM, AK, perpendiculaires sur AM, et les rayons ON, AU, perpendiculaires sur VU, les droites KH, UV, seront les tangentes demandées.

On le prouverait en raisonnant comme ci-dessus. * •

332. Si les deux cercles étaient égaux, il est évident que les tangentes externes seraient parallèles.

333. On pourrait encore considérer les tangentes externes comme parallèles, si les deux cercles étaient inBniment éloignés , parce qu’alors le point de rencontre de ces deux tangentes serait lui-même reculé jusqu’à l’inGni (70).

33^. Si au contraire les deux cercles se rapprochaient , fig. k, l’angle formé par les deux tangentes, augmenterait, et lorsque les ileux cercles se toucheraient, les deux tangentes internes seraient réduites à uneseulePQ, les quatre points de tangence U, K, H, V, seraient réunis au point G , qui serait alors le point de tangence des deux cercles. Dans ce cas il n’y aurait plus que trois tangentes.

335. Lorsque les deux cercles se coupent, 5, les tangentes internes ne sont plus possibles , et les tangentes externes existent seules.

336. Enfin , si l’on rapproche encore les centres jusqu’à ce que les deux cercles se touchent intérieurement, il ne

ueumi:tri£ plane.

peut plus y avoir qu’une seule tangente, qui elle-même cesse d’exister au moment où le petit cercle est entière* ment compris dans le grand sans le toucher.

337. Problème. Construire deux arcs de cercles qui se raccordent en un point donné B ,fi§. 6.

Solation- Ou dit que deux arcs de cercle se raccordent, lorsqu’ils paraissent appartenir à une même courbe et qu’ils ne font entre eux aucun angle (215), aucune brisure, à l’endroit où ils se réunissent. Ainsi , les deux arcs AB et BC se raccordent et forment entre eux la courbe à deux centres ABC.

Les deux arcs DB et BH se raccordent également au point B, et forment ensemble la courbe à deux centres DBH.

Toutes les questiuus dans lesquelles on se propose de raccorder ainsi deux ou un plus grand nombre d’arcs de cercles, dépendent de ce principe démontré au numéro 212, que deux cercles sont tangents Cun à Vautre lorsqu’ils ont une tangente commune , et dans ce cas la ligne des centres doit contenir le point de tangence. Ainsi , les arcs AB et BC, DB et BH , se raccordent au point B, parce qu’ils appartiennent à des cercles dont les centres sont situés sur la droite KO, perpendiculaire à la tangente commune MN.

338. Les raccordements d’arcs de cercles sont fréquemment employés dans l’architecture pour le tracé des profils de moulures, pour la construction des cintres de voûtes ; ils servent encore pour décrire un grand nombre de courbes en usage d. ms les machines.

Nous terminerons celle première série de problèmes par la solution de deux questions principales sur les courbes ;• plusieurs centres.

PROBLÈMES

339. Problème. Construire une courbe à plusieurs centres passant par des points donnés.

Solation. Soient trois points A , B, 7. On tra-

cera les cordes ÂB , BC et les droites DM , HN , perpendiculaires sur les milieux de ces cordes ; puis , du point M , pris où l’on voudra sur DM , on décrira un premier arc AB. Quand au second arc BG, il doit avoir son centre sur la ligne HN , perpendiculaire au milieu de BC ; mais , pour qu’il se raccorde au point B avec le premier arc, il faut qu’ils aient en ce point, une tangente commune. 11 faut donc que le centre du second arc soit situé sur le rayon BM (212). Or, le centre du second arc devant appartenir en même temps aux deux droites HN et BM, il sera situé au point N, suivant lequel ces deux lignes se rencontrent.

340. La question est évidemment indéterminée, etl’urc que l’on obtient dépend du point que l’on choisit pour centre du premier arc.

341. Si l’on plaçait le premier centre au point O , suivant lequel se rencontrent les droites DM et HN,.les deux arcs n’en feraient qu’un seul.

342. Si l’on prenait pour centre du premier arc le point I, suivant lequel la droite DM est rencontrée par BI, perpendiculaire à BC , le second centre serait situé à l’infini , et l’arc correspondant serait alors remplacé par la droite BC , tangente au premier arc.

343. corollaire. On peut appliquer ces principes à la construction d’une courbe passant par autant de points que l’on voudra , et l’on reconnaîtra encore que la forme de la courbe dépend du point que l’on choisit pour centre du premier arc. Ainsi, /ig. 8, en prenant le premier centre

au point t , on obtient la courbe AViMUD , taudis que si l’on prend le premier rentre au point 1', on obtiendra la courbe ASKHD.

3i4. Pour éviter l’inconvénient qui résulte de cette indétermination , on commence, fi^. 9 , par esquisser au crayon la courbe que l’on veut construire , après quoi on choisit les points de raccordement assez rapprochés pour que les parties de courbe comprises entre ces points, soient sensiblement circulaires, et l’on détermine ensuite les centres comme ci-dessus.

3^5. Le nombre des centres est toujours inférieur d’une unité à celui des points par lesquels on veut faire passer la courbe.

3&6. Problème. Construire une courbe à plusieurs centres et tangente à des droites données.

Solation. Soient les deux droites AB , AC ,/t^. 10. Ou veut construire une courbe à deux centres , qui touche la première droite au point B et la seconde au point C. On tracera d’abord les deux droites BO, Cl, perpendiculaires aux deux tangentes données , puis on décrira un premier arc BD , en prenant pour centre un point O , situé où l’on voudra sur la droite BO. On portera le rayon BO de C en H sur la droite CI, puis ou joindra le point O avec le point H par la droite OH , .sur le milieu de laquelle on élèvera la perpendiculaire SI. L’intersection de la droite SI avec CI déterminera le point I, qui sera le centre du second arc de cercle. Le point de raccordement sera déterminé en prolongeant JO jusqu’en D.

En effet , on a (140) IH = 10, et par conséquent IH-f HC = IO-l-OD.

puisque OD = OB = HC : donc , le second arc tangent au point C passera par le point D. De plus , les fieux ares

PROBLÈMES

se raccorderont au point D , puisque si l’on menait en ce point une perpendiculaire sur OD, rayon <le BD, elle serait aussi perpendiculaire sur DI, rayon de CD; d’où il suit, que les deux arcs auraient au point D une tangente commune, et que par conséquent ils se toucheraient en ce point.

347. On aurait pu commencer par ilécrire l’arc CD, mais alors, il aurait fallu porter le rayon CI de B en H', après quoi on aurait tracé la droite IH', sur le milieu de laquelle on aurait élevé la perpendiculaire S'O, dont la rencontre avec BH' aurait donné le point O pour centre •le l’arc BD

348. La question précé<lente est encore indéterminée , et la forme de la courbe dépend du premier centre. Si l’on prenait ce point sur la droite qui partage l’angle BÂC en deux parties égales , le premier arc loucherait la droite BC en un point M , éloigné du point A d’une quantité AM = AB , et la partie droite MC remplacerait le second arc, dont le rayon serait alors inGni.

Si au lieu de porter le premier rayon de C en H , on l’eût porté de C en 11 , on aurait obtenu la courbe

BD'KC. Le second centre aurait été en I', et le point de raccordement en D'.

On peut varier ainsi à l’inGni la forme de la courbe , eu changeant lu place des centres et la direction des rayons.

349. Si les deux tangentes BA , Ch',fig. 12, étaient parallèles , cela ne changerait rien à la manière d’opérer.

3.Ï0. corollaire. On |>ourrait se proposer d’inscrire une i;ourbe à plusieurs centres dans un polygone donné ABCD,

fis- 1 ^-

Supposons t|ue l'on ail choisi les points de tangence A, IM , Ü , on poui ra joimlrc le point A avec M par une première courbe à deux centres AM , cl les points M et D par

une deuxième courbe MD , ce qui ferait quatre centres.

351. On peut n'employer que trois arcs de cercle ayant pour centre les points 1 , 2 et 3, et se raccordant aux points Z et K ; enfin, on peut commencer par l'arcque l’on voudra, et même par celui du milieu si on le trouve plus commode : c’est ce que l’on a fait sur la figure 13.